COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
157
d) D´ eterminer la fonction de r´ epartition G(u) puis la densit´ e de probabilit´ e g(u) de la variable al´ eatoire U = X
2 + Y
2 .
e) Calculer E[U ] ; en d´ eduire E[X
2 ], E[Y
2 ], puis Var X, Var Y .
f) D´ eterminer la densit´ e f Y | X (· | x) de Y li´ ee par {X = x}. Calculer
E[Y
2
| X = x], puis E[X
2 + Y
2
| X = x] et E[X
2 + Y
2
| X].
g) On suppose `
a pr´ esent qu’un tireur tire sur une cible ayant la forme
d’un disque D et que la loi du point d’impact (X, Y ) sur la cible est la
loi uniforme sur D. Au point (X, Y ) on associe la variable al´ eatoire L =
√
X 2 + Y 2 , qui est la distance de (X, Y ) au centre de la cible. A un syst` eme
de n tirs ind´ ependants correspond alors un syst` eme de n points al´ eatoires
ind´ ependants, puis un syst` eme (L 1 , . . . , L n ) de n variables al´ eatoires qui
repr´ esentent les distances au centre de ces points. Ce syst` eme est form´ e de
variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees. On demande
de calculer P{min(L 1 , . . . , L n ) < a}, o` u a est un r´ eel v´ erifiant 0 < a < r.
Interpr´ eter cette probabilit´ e.
6. — Soit M =
X 1
X 2
un vecteur al´ eatoire de loi N 2 (0, Γ) avec Γ =
1 ρ
ρ 1
et |ρ| < 1. Montrer que
a) la loi de X 2 li´ ee par {X 1 = x 1 } est la loi N (ρx 1 ,
1 − ρ 2 ). Il en
r´ esulte
α) E[X 2 | X 1 = x 1 ] = ρx 1 : l’esp´ erance conditionnelle est lin´ eaire en
x 1 ; en d’autres termes, la courbe de r´ egression de X 2 en X 1 est une droite
passant par l’origine et de pente ρ.
β) Var(X 2 | X 1 = x 1 ) = 1 − ρ
2 ; elle est ind´ ependante de x 1 .
b) (X 1 , X 2 − E[X 2 | X 1 ]) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, normales, centr´ ees, de variances respectives 1, 1 − ρ
2 .
7. — Soit (X 1 , X 2 ) un couple de variables al´ eatoires dont les lois marginales sont des lois normales N (0, 1). Il n’en r´ esulte pas que (X 1 , X 2 ) soit
normal. Imaginer un exemple.
8. — Soit M = (X, Y ) un vecteur al´ eatoire absolument continu, de
support R
2 , dont les composantes X, Y sont ind´ ependantes. Montrer que
les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) X et Y suivent toutes deux une mˆ eme loi normale centr´ ee ;
b) la loi de M est isotrope, c’est-` a-dire est invariante par rapport `
a toute
rotation autour de l’origine.
9. — On lance un d´ e parfait ; ceci ´ etant fait, on lance une pi` ece de monnaie
parfaite un nombre de fois ´ egal au nombre de points amen´ es par le d´ e. On
d´ esigne par X le nombre de points amen´ es par le d´ e et par Y le nombre de
“pile” amen´ es par la pi` ece de monnaie.
a) D´ eterminer la loi conjointe du couple (X, Y ).
b) Calculer E[Y ].
EMENTS ET EXERCICES
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d) D´ eterminer la fonction de r´ epartition G(u) puis la densit´ e de probabilit´ e g(u) de la variable al´ eatoire U = X
2 + Y
2 .
e) Calculer E[U ] ; en d´ eduire E[X
2 ], E[Y
2 ], puis Var X, Var Y .
f) D´ eterminer la densit´ e f Y | X (· | x) de Y li´ ee par {X = x}. Calculer
E[Y
2
| X = x], puis E[X
2 + Y
2
| X = x] et E[X
2 + Y
2
| X].
g) On suppose `
a pr´ esent qu’un tireur tire sur une cible ayant la forme
d’un disque D et que la loi du point d’impact (X, Y ) sur la cible est la
loi uniforme sur D. Au point (X, Y ) on associe la variable al´ eatoire L =
√
X 2 + Y 2 , qui est la distance de (X, Y ) au centre de la cible. A un syst` eme
de n tirs ind´ ependants correspond alors un syst` eme de n points al´ eatoires
ind´ ependants, puis un syst` eme (L 1 , . . . , L n ) de n variables al´ eatoires qui
repr´ esentent les distances au centre de ces points. Ce syst` eme est form´ e de
variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees. On demande
de calculer P{min(L 1 , . . . , L n ) < a}, o` u a est un r´ eel v´ erifiant 0 < a < r.
Interpr´ eter cette probabilit´ e.
6. — Soit M =
X 1
X 2
un vecteur al´ eatoire de loi N 2 (0, Γ) avec Γ =
1 ρ
ρ 1
et |ρ| < 1. Montrer que
a) la loi de X 2 li´ ee par {X 1 = x 1 } est la loi N (ρx 1 ,
1 − ρ 2 ). Il en
r´ esulte
α) E[X 2 | X 1 = x 1 ] = ρx 1 : l’esp´ erance conditionnelle est lin´ eaire en
x 1 ; en d’autres termes, la courbe de r´ egression de X 2 en X 1 est une droite
passant par l’origine et de pente ρ.
β) Var(X 2 | X 1 = x 1 ) = 1 − ρ
2 ; elle est ind´ ependante de x 1 .
b) (X 1 , X 2 − E[X 2 | X 1 ]) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, normales, centr´ ees, de variances respectives 1, 1 − ρ
2 .
7. — Soit (X 1 , X 2 ) un couple de variables al´ eatoires dont les lois marginales sont des lois normales N (0, 1). Il n’en r´ esulte pas que (X 1 , X 2 ) soit
normal. Imaginer un exemple.
8. — Soit M = (X, Y ) un vecteur al´ eatoire absolument continu, de
support R
2 , dont les composantes X, Y sont ind´ ependantes. Montrer que
les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) X et Y suivent toutes deux une mˆ eme loi normale centr´ ee ;
b) la loi de M est isotrope, c’est-` a-dire est invariante par rapport `
a toute
rotation autour de l’origine.
9. — On lance un d´ e parfait ; ceci ´ etant fait, on lance une pi` ece de monnaie
parfaite un nombre de fois ´ egal au nombre de points amen´ es par le d´ e. On
d´ esigne par X le nombre de points amen´ es par le d´ e et par Y le nombre de
“pile” amen´ es par la pi` ece de monnaie.
a) D´ eterminer la loi conjointe du couple (X, Y ).
b) Calculer E[Y ].