156
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
distincts et les probabilit´ es P{Y = y j } toutes strictement positives. Soit Q 0
une loi de probabilit´ e arbitraire sur (R, B
1 ) et d´ efinissons
Q y (·) =
Q 0 ,
si y = y j pour tout j ;
P{X ∈ · | Y = y j }, si y = y j .
En particulier, pour y = y j et tout ensemble bor´ elien A, on pose
Q y (A) = P{X ∈ A | Y = y j }.
V´ erifier que la fonction Q (·) satisfait les propri´ et´ es (1), (2) et (3).
c) Supposons le couple (X, Y ) est absolument continu et reprenons les
mˆ emes notations que dans les paragraphes 3 et 4. Pour tout nombre r´ eel y
notons Q y la loi de probabilit´ e sur R, de densit´ e f X | Y (x | y). V´ erifier les trois
propri´ et´ es (1), (2) et (3).
2. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires de densit´ e conjointe
f (x, y) =
e
−(x+y) , si x, y ≥ 0 ;
0,
sinon.
a) D´ eterminer les densit´ es marginales de X, Y .
b) Les variables X et Y sont-elles ind´ ependantes ?
3. — Mˆ emes questions qu’en 2) pour un couple (X, Y ) de densit´ e
conjointe :
f (x, y) =
2 e
−(x+y) , si 0 ≤ x ≤ y ;
0,
sinon.
4. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires de densit´ e conjointe
f (x, y). Montrer que X, Y sont ind´ ependantes, si et seulement si f se factorise
en le produit f (x, y) = g(x) h(y), d’une fonction de x et d’une fonction de y.
5. — Soit D le disque de centre 0 et de rayon r > 0
D = {(x, y) ∈ R
2 : x
2 + y
2
≤ r
2
}.
On d´ esigne par (X, Y ) un point al´ eatoire ` a valeurs dans D et dont la loi
conjointe est la loi uniforme sur D, c’est-` a-dire est donn´ ee par :
f (x, y) =
1
πr 2 , si (x, y) ∈ D ;
0,
sinon.
a) D´ eterminer les densit´ es marginales de X, Y . Calculer E[X], E[Y ].
b) Les variables X et Y sont-elles ind´ ependantes ?
c) Calculer Cov(X, Y ). Quelle conclusion peut-on tirer de b), c) ?