COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
155
fonction g´ en´ eratrice donn´ ee, pour v r´ eel, par g(v) = E[e
vL u ] = e
Q(u)(v
2 /2) ,
o` u Q(u) = Var L u = Var(
t u M) = E[(
t uM )
2 ] = E[(
t u M)(
t u M)]. Comme
t u M =
t M u, on en d´ eduit Q(u) =
t u E[M
t M ] u =
t u Γ u, o` u Γ est la
matrice des variances-covariances de M .
En prenant v = 1, il vient g(1) = E[e
L u ] = E[e
t u M ] = e
(1/2)
t uΓu , qui est
l’expression pour la fonction g´ en´ eratrice de M . On voit donc que M suit la
loi N 2 (0, Γ).
Les notations utilis´ ees ´ etant matricielles, seules des modifications mineures
sont `
a apporter `
a l’´ etude de vecteurs al´ eatoires normaux M ` a un nombre
de dimension n ≥ 2. En particulier, lorsque la matrice des variancescovariances Γ est r´ eguli` ere, la densit´ e de M est donn´ ee par la formule (5.9),
lorsqu’on y remplace 2π par (2π)
n/2 au d´ enominateur de la fraction.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. Autre traitement des lois conditionnelles (X. Fernique). — Cette
m´ ethode permet de traiter simultan´ ement le cas des variables al´ eatoires
discr` etes et celui des variables al´ eatoires absolument continues. Consid´ erons
un couple de variables al´ eatoires r´ eelles (X, Y ) d´ efini sur un espace probabilis´ e
(Ω, A, P). Notons µ, P X , P Y , la loi du couple, celle de X, celle de Y ,
respectivement.
Soit (Q y (A)) (y ∈ R, A ∈ B
1 ) une famille de nombres r´ eels index´ ee par le
couple (y, A) ∈ R × B
1 . On dit que cette famille est la loi conditionnelle de
X relativement `
a Y , si les propri´ et´ es suivantes sont remplies :
(1) pour tout nombre r´ eel y l’application Q y : A → Q y (A) est une loi de
probabilit´ e sur R, donc, en particulier, une application de B
1 dans [0, 1] ;
(2) pour tout bor´ elien A ∈ B
1 l’application Q (·) (A) : y → Q y (A) est
mesurable, donc, en particulier, une application de (R, B
1 ) dans (R, B
1 ) ;
(3) pour tout couple de bor´ eliens A, B on a l’identit´ e :
P{X ∈ A, Y ∈ B} = E[Q (·) (A) · I {Y ∈B} ].
Noter que Q (·) (A) est une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur (R, B
1 ) et
qu’elle est born´ ee, puisque 0 ≤ Q y (A) ≤ 1 pour tout y. Le produit
Q (·) (A) · I {Y ∈B} est donc int´ egrable. L’esp´ erance math´ ematique E dans
l’identit´ e pr´ ec´ edente est prise par rapport `
a la loi P Y de Y .
a) Montrer que l’identit´ e en (3) se r´ ecrit :
x∈A, y∈B
dµ(x, y) =
y∈B
x∈A
dQ y (x)
dP Y (y).
b) Supposons que Y soit une variable al´ eatoire discr` ete, de loi P Y =
j∈J
P{Y = y j } ε y j , o` u J est fini ou d´ enombrable, en supposant les y j tous
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fonction g´ en´ eratrice donn´ ee, pour v r´ eel, par g(v) = E[e
vL u ] = e
Q(u)(v
2 /2) ,
o` u Q(u) = Var L u = Var(
t u M) = E[(
t uM )
2 ] = E[(
t u M)(
t u M)]. Comme
t u M =
t M u, on en d´ eduit Q(u) =
t u E[M
t M ] u =
t u Γ u, o` u Γ est la
matrice des variances-covariances de M .
En prenant v = 1, il vient g(1) = E[e
L u ] = E[e
t u M ] = e
(1/2)
t uΓu , qui est
l’expression pour la fonction g´ en´ eratrice de M . On voit donc que M suit la
loi N 2 (0, Γ).
Les notations utilis´ ees ´ etant matricielles, seules des modifications mineures
sont `
a apporter `
a l’´ etude de vecteurs al´ eatoires normaux M ` a un nombre
de dimension n ≥ 2. En particulier, lorsque la matrice des variancescovariances Γ est r´ eguli` ere, la densit´ e de M est donn´ ee par la formule (5.9),
lorsqu’on y remplace 2π par (2π)
n/2 au d´ enominateur de la fraction.
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1. Autre traitement des lois conditionnelles (X. Fernique). — Cette
m´ ethode permet de traiter simultan´ ement le cas des variables al´ eatoires
discr` etes et celui des variables al´ eatoires absolument continues. Consid´ erons
un couple de variables al´ eatoires r´ eelles (X, Y ) d´ efini sur un espace probabilis´ e
(Ω, A, P). Notons µ, P X , P Y , la loi du couple, celle de X, celle de Y ,
respectivement.
Soit (Q y (A)) (y ∈ R, A ∈ B
1 ) une famille de nombres r´ eels index´ ee par le
couple (y, A) ∈ R × B
1 . On dit que cette famille est la loi conditionnelle de
X relativement `
a Y , si les propri´ et´ es suivantes sont remplies :
(1) pour tout nombre r´ eel y l’application Q y : A → Q y (A) est une loi de
probabilit´ e sur R, donc, en particulier, une application de B
1 dans [0, 1] ;
(2) pour tout bor´ elien A ∈ B
1 l’application Q (·) (A) : y → Q y (A) est
mesurable, donc, en particulier, une application de (R, B
1 ) dans (R, B
1 ) ;
(3) pour tout couple de bor´ eliens A, B on a l’identit´ e :
P{X ∈ A, Y ∈ B} = E[Q (·) (A) · I {Y ∈B} ].
Noter que Q (·) (A) est une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur (R, B
1 ) et
qu’elle est born´ ee, puisque 0 ≤ Q y (A) ≤ 1 pour tout y. Le produit
Q (·) (A) · I {Y ∈B} est donc int´ egrable. L’esp´ erance math´ ematique E dans
l’identit´ e pr´ ec´ edente est prise par rapport `
a la loi P Y de Y .
a) Montrer que l’identit´ e en (3) se r´ ecrit :
x∈A, y∈B
dµ(x, y) =
y∈B
x∈A
dQ y (x)
dP Y (y).
b) Supposons que Y soit une variable al´ eatoire discr` ete, de loi P Y =
j∈J
P{Y = y j } ε y j , o` u J est fini ou d´ enombrable, en supposant les y j tous