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CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
On voit que c’est la fonction g´ en´ eratrice d’un couple (X 1 , X 2 ), o` u X 1 = σ 1 U ,
X 2 = ±σ 2 U , avec U une variable al´ eatoire de loi N (0, 1). Ainsi une loi
N 2 (0, Γ) d´ eg´ en´ er´ ee admet pour support une droite de pente ±σ 2 /σ 1 et
passant par l’origine.
Remarque sur les lois non centr´ ees. — Soient µ =
µ 1
µ 2
(µ 1 , µ 2 ∈ R) et
M
un point al´ eatoire de loi N 2 (0, Γ). On note N 2 (µ, Γ) la loi de M = M
+ µ
et on l’appelle loi normale `
a deux dimensions de point moyen µ et de matrice
de variances-covariances Γ. Sa fonction g´ en´ eratrice est donn´ ee par
g(u) = exp
t uµ +
1
2
t uΓu
(5.8)
= exp
u 1 µ 1 + u 2 µ 2 +
1
2
σ
2
1 u
2
1 + 2ρσ 1 σ 2 u 1 u 2 + σ
2
2 u
2
2
.
Si en outre |ρ| < 1, elle admet une densit´ e conjointe donn´ ee par
f M (x) =
√
det Γ −1
2π
exp
−
1
2
t (x − µ) Γ
−1 (x − µ)
(5.9)
=
1
2π σ 1 σ 2
1 − ρ 2
exp
−
1
2(1 − ρ 2 )
x 1 − µ 1
σ 1
2
− 2ρ
x 1 − µ 1
σ 1
x 2 − µ 2
σ 2
+
x 2 − µ 2
σ 2
2
.
On voit que si M =
X 1
X 2
suit la loi N 2 (µ, Γ), alors le couple
U
V
avec
U = (X 1 − µ 1 )/σ 1 , V = (X 2 − µ 2 )/σ 2 suit la loi N 2 (0, γ) avec γ =
1 ρ
ρ 1
.
Le prochain th´ eor` eme pr´ esente un double int´ erˆ et, car, d’une part, il fournit
une mani` ere alternative pour introduire la loi normale `
a deux dimensions,
d’autre part, il permet, convenablement g´ en´ eralis´ e, de d´ efinir des lois normales dans des espaces plus g´ en´ eraux, comme par exemple les espaces de
Banach.
Th´ eor` eme 5.7. — Soit M =
X 1
X 2
un vecteur al´ eatoire centr´ e. Les
deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) M suit une loi normale centr´ ee ` a deux dimensions ;
b) toute combinaison lin´ eaire de X 1 , X 2 suit une loi normale centr´ ee ` a
une dimension.
D´ emonstration. — Notons L u =
t u M, u =
u 1
u 2
, une combinaison
lin´ eaire ` a coefficients r´ eels de X 1 , X 2 .
a) ⇒ b) : supposons L(M ) = N 2 (0, Γ). La fonction g´ en´ eratrice de L u est
donn´ ee, pour v ∈ R, par g(v) = E[e
vL u ] = E[e
t (vu)M ] = exp
1
2 (
t uΓu)v
2
.
Ceci montre, d’apr` es chap. 14, § 3.2 c), que L u est une variable al´ eatoire
normale, centr´ ee, de variance
t uΓu.
b) ⇒ a) : par hypoth` ese, pour tout u dans R
2 , la variable al´ eatoire
L u suit une loi normale centr´ ee ` a une dimension ; elle admet donc une
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
On voit que c’est la fonction g´ en´ eratrice d’un couple (X 1 , X 2 ), o` u X 1 = σ 1 U ,
X 2 = ±σ 2 U , avec U une variable al´ eatoire de loi N (0, 1). Ainsi une loi
N 2 (0, Γ) d´ eg´ en´ er´ ee admet pour support une droite de pente ±σ 2 /σ 1 et
passant par l’origine.
Remarque sur les lois non centr´ ees. — Soient µ =
µ 1
µ 2
(µ 1 , µ 2 ∈ R) et
M
un point al´ eatoire de loi N 2 (0, Γ). On note N 2 (µ, Γ) la loi de M = M
+ µ
et on l’appelle loi normale `
a deux dimensions de point moyen µ et de matrice
de variances-covariances Γ. Sa fonction g´ en´ eratrice est donn´ ee par
g(u) = exp
t uµ +
1
2
t uΓu
(5.8)
= exp
u 1 µ 1 + u 2 µ 2 +
1
2
σ
2
1 u
2
1 + 2ρσ 1 σ 2 u 1 u 2 + σ
2
2 u
2
2
.
Si en outre |ρ| < 1, elle admet une densit´ e conjointe donn´ ee par
f M (x) =
√
det Γ −1
2π
exp
−
1
2
t (x − µ) Γ
−1 (x − µ)
(5.9)
=
1
2π σ 1 σ 2
1 − ρ 2
exp
−
1
2(1 − ρ 2 )
x 1 − µ 1
σ 1
2
− 2ρ
x 1 − µ 1
σ 1
x 2 − µ 2
σ 2
+
x 2 − µ 2
σ 2
2
.
On voit que si M =
X 1
X 2
suit la loi N 2 (µ, Γ), alors le couple
U
V
avec
U = (X 1 − µ 1 )/σ 1 , V = (X 2 − µ 2 )/σ 2 suit la loi N 2 (0, γ) avec γ =
1 ρ
ρ 1
.
Le prochain th´ eor` eme pr´ esente un double int´ erˆ et, car, d’une part, il fournit
une mani` ere alternative pour introduire la loi normale `
a deux dimensions,
d’autre part, il permet, convenablement g´ en´ eralis´ e, de d´ efinir des lois normales dans des espaces plus g´ en´ eraux, comme par exemple les espaces de
Banach.
Th´ eor` eme 5.7. — Soit M =
X 1
X 2
un vecteur al´ eatoire centr´ e. Les
deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) M suit une loi normale centr´ ee ` a deux dimensions ;
b) toute combinaison lin´ eaire de X 1 , X 2 suit une loi normale centr´ ee ` a
une dimension.
D´ emonstration. — Notons L u =
t u M, u =
u 1
u 2
, une combinaison
lin´ eaire ` a coefficients r´ eels de X 1 , X 2 .
a) ⇒ b) : supposons L(M ) = N 2 (0, Γ). La fonction g´ en´ eratrice de L u est
donn´ ee, pour v ∈ R, par g(v) = E[e
vL u ] = E[e
t (vu)M ] = exp
1
2 (
t uΓu)v
2
.
Ceci montre, d’apr` es chap. 14, § 3.2 c), que L u est une variable al´ eatoire
normale, centr´ ee, de variance
t uΓu.
b) ⇒ a) : par hypoth` ese, pour tout u dans R
2 , la variable al´ eatoire
L u suit une loi normale centr´ ee ` a une dimension ; elle admet donc une