5. LA LOI NORMALE `
A DEUX DIMENSIONS
153
Propri´ et´ e 5.3. — Le couple M =
X 1
X 2
est centr´ e et sa matrice
des variances-covariances est Γ ; en d’autres termes, les variables al´ eatoires
marginales X 1 et X 2 sont centr´ ees et leur coefficient de corr´ elation lin´ eaire
est ρ.
Les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ evidentes sur la forme de g M (u).
Propri´ et´ e 5.4. — Les variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 sont des
variables al´ eatoires normales, centr´ ees, de variances respectives σ
2
1 et σ
2
2 .
Propri´ et´ e 5.5. — Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que
les variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 soient ind´ ependantes est qu’elles
soient non corr´ el´ ees, c’est-` a-dire que ρ = 0. Ainsi, dans le cas particulier
des lois normales `
a deux dimensions, les propri´ et´ es d’ind´ ependance et de
non-corr´ elation de X 1 , X 2 sont ´ equivalentes.
Th´ eor` eme 5.6. — Soient M =
X 1
X 2
un couple de loi N 2 (0, Γ) et A
une matrice 2 × 2 r´ eelle. Alors M
= A M est un couple de loi N 2 (0, Γ
), o` u
Γ
= A Γ
t
A.
D´ emonstration. — Faisons simultan´ ement les transformations M
= A M,
t u =
t u
A. On a
t u M =
t u
M
, d’o` u g M (u
) = E[e
t u
M
] = E[e
t u M ] =
exp
1
2
t u Γ u
= exp
1
2
t u
(A Γ
t
A)u
.
Corollaire 1. — Supposons que Γ = I, c’est-` a-dire que M soit un
couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi N (0, 1). Une condition
n´ ecessaire et suffisante pour qu’il en soit de mˆ eme de M
= A M est que
A
t
A = I, c’est-` a-dire que A soit une matrice orthogonale.
Corollaire 2. — Si le couple (X 1 , X 2 ) suit la loi normale N 2 (0, Γ),
alors
X 1
σ 1
,
X 2
σ 2
− ρ
X 1
σ 1
est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
normales, centr´ ees, de variances respectives 1, 1 − ρ
2 .
D´ emonstration. — D´ efinissons M
= A M par
X
1 =
X 1
σ 1
;
X
2 =
X 2
σ 2
− ρ
X 1
σ 1
;
soit A =
1
σ 1
0
−
ρ
σ 1
1
σ 2
.
Alors Γ
= A Γ
t
A =
1
0
0 1 − ρ
2
.
Remarques sur les lois d´ eg´ en´ er´ ees. — Consid´ erons la loi N 2 (0, Γ) avec
det Γ = 0, c’est-` a-dire ρ = ±1. Elle n’admet pas de densit´ e conjointe, mais
admet une fonction g´ en´ eratrice obtenue en faisant ρ = ±1 dans (5.5), soit
(5.7)
g M (u) = exp
1
2
(σ 1 u 1 ± σ 2 u 2 )
2
.
A DEUX DIMENSIONS
153
Propri´ et´ e 5.3. — Le couple M =
X 1
X 2
est centr´ e et sa matrice
des variances-covariances est Γ ; en d’autres termes, les variables al´ eatoires
marginales X 1 et X 2 sont centr´ ees et leur coefficient de corr´ elation lin´ eaire
est ρ.
Les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ evidentes sur la forme de g M (u).
Propri´ et´ e 5.4. — Les variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 sont des
variables al´ eatoires normales, centr´ ees, de variances respectives σ
2
1 et σ
2
2 .
Propri´ et´ e 5.5. — Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que
les variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 soient ind´ ependantes est qu’elles
soient non corr´ el´ ees, c’est-` a-dire que ρ = 0. Ainsi, dans le cas particulier
des lois normales `
a deux dimensions, les propri´ et´ es d’ind´ ependance et de
non-corr´ elation de X 1 , X 2 sont ´ equivalentes.
Th´ eor` eme 5.6. — Soient M =
X 1
X 2
un couple de loi N 2 (0, Γ) et A
une matrice 2 × 2 r´ eelle. Alors M
= A M est un couple de loi N 2 (0, Γ
), o` u
Γ
= A Γ
t
A.
D´ emonstration. — Faisons simultan´ ement les transformations M
= A M,
t u =
t u
A. On a
t u M =
t u
M
, d’o` u g M (u
) = E[e
t u
M
] = E[e
t u M ] =
exp
1
2
t u Γ u
= exp
1
2
t u
(A Γ
t
A)u
.
Corollaire 1. — Supposons que Γ = I, c’est-` a-dire que M soit un
couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi N (0, 1). Une condition
n´ ecessaire et suffisante pour qu’il en soit de mˆ eme de M
= A M est que
A
t
A = I, c’est-` a-dire que A soit une matrice orthogonale.
Corollaire 2. — Si le couple (X 1 , X 2 ) suit la loi normale N 2 (0, Γ),
alors
X 1
σ 1
,
X 2
σ 2
− ρ
X 1
σ 1
est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
normales, centr´ ees, de variances respectives 1, 1 − ρ
2 .
D´ emonstration. — D´ efinissons M
= A M par
X
1 =
X 1
σ 1
;
X
2 =
X 2
σ 2
− ρ
X 1
σ 1
;
soit A =
1
σ 1
0
−
ρ
σ 1
1
σ 2
.
Alors Γ
= A Γ
t
A =
1
0
0 1 − ρ
2
.
Remarques sur les lois d´ eg´ en´ er´ ees. — Consid´ erons la loi N 2 (0, Γ) avec
det Γ = 0, c’est-` a-dire ρ = ±1. Elle n’admet pas de densit´ e conjointe, mais
admet une fonction g´ en´ eratrice obtenue en faisant ρ = ±1 dans (5.5), soit
(5.7)
g M (u) = exp
1
2
(σ 1 u 1 ± σ 2 u 2 )
2
.