152
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
La matrice A
t
A qui figure dans (5.3) et (5.4) est la matrice des variancescovariances du vecteur al´ eatoire M = AM
. En fait, nous allons voir que
toute matrice des variances-covariances Γ admet une repr´ esentation de la
forme A
t
A, c’est-` a-dire est la matrice des variances-covariances d’un vecteur
al´ eatoire de la forme M = AM
.
Lemme 5.2. — Soit Γ une matrice des variances-covariances 2 × 2. Alors
il existe une matrice 2 × 2, r´ eelle, A telle que Γ = A
t
A.
D´ emonstration. — Par d´ efinition Γ est r´ eelle, sym´ etrique, d´ efinie-positive
(puisque
t uΓu = E[
t uM
2 ] ≥ 0) ; elle admet donc des valeurs propres λ 1 ,
λ 2 positives ou nulles. Il existe donc une matrice 2 × 2, r´ eelle, orthogonale S
telle que
S
−1 Γ S =
λ 1 0
0 λ 2
=
√
λ 1
0
0
√
λ 2
√
λ 1
0
0
√
λ 2
.
On en d´ eduit
Γ = S
√
λ 1
0
0
√
λ 2
√
λ 1
0
0
√
λ 2
S
−1 ,
d’o` u Γ = A
t
A, en posant A = S
√
λ 1
0
0
√
λ 2
. [Noter que S
−1 =
t S,
puisque S est orthogonale.]
En choisissant A conforme au Lemme 5.2, le couple M d´ efini par M =
A M
a une loi dont la fonction g´ en´ eratrice et la densit´ e conjointe, le cas
´ ech´ eant, sont donn´ ees par (5.3) et (5.4). On voit que cette loi ne d´ epend que
de Γ ; on la note N 2 (0, Γ) ; elle fait l’objet de la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Donnons-nous une matrice des variances-covariances Γ =
σ
2
1
ρσ 1 σ 2
ρσ 1 σ 2
σ
2
2
, (σ 1 > 0, σ 2 > 0, |ρ| ≤ 1). On dit qu’un couple al´ eatoire
M =
X 1
X 2
suit la loi normale centr´ ee N 2 (0, Γ), s’il admet pour fonction
g´ en´ eratrice
(5.5)
g M (u) = exp
1
2
t uΓu
= exp
1
2
σ
2
1 u
2
1 + 2ρσ 1 σ 2 u 1 u 2 + σ
2
2 u
2
2
.
Si en outre det Γ = 0, c’est-` a-dire si |ρ| < 1, il admet une densit´ e conjointe
donn´ ee par
f M (x) =
√
det Γ −1
2π
exp
−
1
2
t x Γ
−1 x
=
1
2π σ 1 σ 2
1 − ρ 2
exp
−
1
2(1 − ρ 2 )
x
2
1
σ 2
1
− 2ρ
x 1
σ 1
x 2
σ 2
+
x
2
2
σ 2
2
.
(5.6)
La loi N 2 (0, Γ) est dite d´ eg´ en´ er´ ee ou non d´ eg´ en´ er´ ee, selon que det Γ = 0 ou
= 0. Seules les lois non d´ eg´ en´ er´ ees admettent des densit´ es conjointes. La
propri´ et´ e suivante n’est qu’une redite.
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
La matrice A
t
A qui figure dans (5.3) et (5.4) est la matrice des variancescovariances du vecteur al´ eatoire M = AM
. En fait, nous allons voir que
toute matrice des variances-covariances Γ admet une repr´ esentation de la
forme A
t
A, c’est-` a-dire est la matrice des variances-covariances d’un vecteur
al´ eatoire de la forme M = AM
.
Lemme 5.2. — Soit Γ une matrice des variances-covariances 2 × 2. Alors
il existe une matrice 2 × 2, r´ eelle, A telle que Γ = A
t
A.
D´ emonstration. — Par d´ efinition Γ est r´ eelle, sym´ etrique, d´ efinie-positive
(puisque
t uΓu = E[
t uM
2 ] ≥ 0) ; elle admet donc des valeurs propres λ 1 ,
λ 2 positives ou nulles. Il existe donc une matrice 2 × 2, r´ eelle, orthogonale S
telle que
S
−1 Γ S =
λ 1 0
0 λ 2
=
√
λ 1
0
0
√
λ 2
√
λ 1
0
0
√
λ 2
.
On en d´ eduit
Γ = S
√
λ 1
0
0
√
λ 2
√
λ 1
0
0
√
λ 2
S
−1 ,
d’o` u Γ = A
t
A, en posant A = S
√
λ 1
0
0
√
λ 2
. [Noter que S
−1 =
t S,
puisque S est orthogonale.]
En choisissant A conforme au Lemme 5.2, le couple M d´ efini par M =
A M
a une loi dont la fonction g´ en´ eratrice et la densit´ e conjointe, le cas
´ ech´ eant, sont donn´ ees par (5.3) et (5.4). On voit que cette loi ne d´ epend que
de Γ ; on la note N 2 (0, Γ) ; elle fait l’objet de la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Donnons-nous une matrice des variances-covariances Γ =
σ
2
1
ρσ 1 σ 2
ρσ 1 σ 2
σ
2
2
, (σ 1 > 0, σ 2 > 0, |ρ| ≤ 1). On dit qu’un couple al´ eatoire
M =
X 1
X 2
suit la loi normale centr´ ee N 2 (0, Γ), s’il admet pour fonction
g´ en´ eratrice
(5.5)
g M (u) = exp
1
2
t uΓu
= exp
1
2
σ
2
1 u
2
1 + 2ρσ 1 σ 2 u 1 u 2 + σ
2
2 u
2
2
.
Si en outre det Γ = 0, c’est-` a-dire si |ρ| < 1, il admet une densit´ e conjointe
donn´ ee par
f M (x) =
√
det Γ −1
2π
exp
−
1
2
t x Γ
−1 x
=
1
2π σ 1 σ 2
1 − ρ 2
exp
−
1
2(1 − ρ 2 )
x
2
1
σ 2
1
− 2ρ
x 1
σ 1
x 2
σ 2
+
x
2
2
σ 2
2
.
(5.6)
La loi N 2 (0, Γ) est dite d´ eg´ en´ er´ ee ou non d´ eg´ en´ er´ ee, selon que det Γ = 0 ou
= 0. Seules les lois non d´ eg´ en´ er´ ees admettent des densit´ es conjointes. La
propri´ et´ e suivante n’est qu’une redite.