5. LA LOI NORMALE `
A DEUX DIMENSIONS
151
5. La loi normale ` a deux dimensions. — La loi normale N (0, 1) sera
´ etudi´ ee au chap. 14, § 3. Pour traiter ce qui va suivre, on a simplement besoin
de savoir que cette loi admet la densit´ e (1/
√
2π)e
−x
2 /2 sur toute la droite.
Si donc M
=
X
1
X
2
est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de
loi normale N (0, 1), il est absolument continu, d’apr` es la Proposition 2.3 et
sa densit´ e est ´ egale au produit des densit´ es de X
1 et de X
2 . Par ailleurs,
la fonction g´ en´ eratrice d’un couple de variables al´ eatoires sera ´ etudi´ ee au
chap. 13, § 6, comme ´ etant la fonction E[e
u
1 X
1 +u
2 X
2 ] des deux variables r´ eelles
u
1 et u
2 . En posant u
=
u
1
u
2
et x
=
x
1
x
2
, il est ainsi imm´ ediat que M
admet une fonction g´ en´ eratrice et une densit´ e conjointe donn´ ees par
g M (u
) = E[e
t u
M
] = exp
1
2
u
1
2 + u
2
2
= exp
1
2
t u
u
;
(5.1)
f M (x
) =
1
2π
exp
−
1
2
x
1
2 + x
2
2
=
1
2π
exp
−
1
2
t x
x
.
(5.2)
Associons ` a M
le couple M =
X 1
X 2
au moyen de la transformation
M = A M
, o` u A est une matrice 2 × 2, r´ eelle. En utilisant des notations
matricielles qui apparaissent ´ evidentes dans ce contexte, on v´ erifie que :
a) M est centr´ e : E[M ] = A E[M
] = A
0
0
=
0
0
;
b) la matrice des variances-covariances E[(M − E[M ])
t (M − E[M ])] de
M est ´ egale ` a : E[M
t
M ] = A E[M
t
M
]
t
A = A I
t
A = A
t
A.
Proposition 5.1. — Le couple M admet pour fonction g´ en´ eratrice
g M (u) = E[e
t u M ] = exp
1
2
t u(A
t
A)u
,
u=
u 1
u 2
.
(5.3)
Si, en outre, A est r´ eguli` ere, M admet une densit´ e conjointe
f M (x) =
1
2π
exp
−
1
2
t x(A
t
A)
−1 x
| det A
−1
|,
x=
x 1
x 2
.
(5.4)
D´ emonstration. — Pour calculer g M (u) on fait simultan´ ement les transformations M = AM
et
t u
=
t uA. On voit que
t u M =
t u
M
, d’o` u
g M (u) = E[e
t u M ] = E[e
t u
M
] = exp
1
2
t u
u
= exp
1
2
t u(A
t
A)u
. Dans le
cas o` u det A = 0, on fait appel `
a la formule du changement de variables du
Th´ eor` eme 2.1 du chap. 15, appliqu´ ee ` a (5.2). On utilise la transformation
G : x
→ x = Ax
, de sorte que la bijection inverse est H : x → x
= A
−1 x
et que le jacobien de celle-ci est det A
−1 . On obtient ainsi
f M (x) =
1
2π
exp
−
1
2
t x
t (A
−1 ) A
−1 x
| det A
−1
|,
d’o` u la formule (5.4), puisque
t (A
−1 ) = (
t A)
−1 et (
t A)
−1 A
−1 = (A
t
A)
−1 .
A DEUX DIMENSIONS
151
5. La loi normale ` a deux dimensions. — La loi normale N (0, 1) sera
´ etudi´ ee au chap. 14, § 3. Pour traiter ce qui va suivre, on a simplement besoin
de savoir que cette loi admet la densit´ e (1/
√
2π)e
−x
2 /2 sur toute la droite.
Si donc M
=
X
1
X
2
est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes de
loi normale N (0, 1), il est absolument continu, d’apr` es la Proposition 2.3 et
sa densit´ e est ´ egale au produit des densit´ es de X
1 et de X
2 . Par ailleurs,
la fonction g´ en´ eratrice d’un couple de variables al´ eatoires sera ´ etudi´ ee au
chap. 13, § 6, comme ´ etant la fonction E[e
u
1 X
1 +u
2 X
2 ] des deux variables r´ eelles
u
1 et u
2 . En posant u
=
u
1
u
2
et x
=
x
1
x
2
, il est ainsi imm´ ediat que M
admet une fonction g´ en´ eratrice et une densit´ e conjointe donn´ ees par
g M (u
) = E[e
t u
M
] = exp
1
2
u
1
2 + u
2
2
= exp
1
2
t u
u
;
(5.1)
f M (x
) =
1
2π
exp
−
1
2
x
1
2 + x
2
2
=
1
2π
exp
−
1
2
t x
x
.
(5.2)
Associons ` a M
le couple M =
X 1
X 2
au moyen de la transformation
M = A M
, o` u A est une matrice 2 × 2, r´ eelle. En utilisant des notations
matricielles qui apparaissent ´ evidentes dans ce contexte, on v´ erifie que :
a) M est centr´ e : E[M ] = A E[M
] = A
0
0
=
0
0
;
b) la matrice des variances-covariances E[(M − E[M ])
t (M − E[M ])] de
M est ´ egale ` a : E[M
t
M ] = A E[M
t
M
]
t
A = A I
t
A = A
t
A.
Proposition 5.1. — Le couple M admet pour fonction g´ en´ eratrice
g M (u) = E[e
t u M ] = exp
1
2
t u(A
t
A)u
,
u=
u 1
u 2
.
(5.3)
Si, en outre, A est r´ eguli` ere, M admet une densit´ e conjointe
f M (x) =
1
2π
exp
−
1
2
t x(A
t
A)
−1 x
| det A
−1
|,
x=
x 1
x 2
.
(5.4)
D´ emonstration. — Pour calculer g M (u) on fait simultan´ ement les transformations M = AM
et
t u
=
t uA. On voit que
t u M =
t u
M
, d’o` u
g M (u) = E[e
t u M ] = E[e
t u
M
] = exp
1
2
t u
u
= exp
1
2
t u(A
t
A)u
. Dans le
cas o` u det A = 0, on fait appel `
a la formule du changement de variables du
Th´ eor` eme 2.1 du chap. 15, appliqu´ ee ` a (5.2). On utilise la transformation
G : x
→ x = Ax
, de sorte que la bijection inverse est H : x → x
= A
−1 x
et que le jacobien de celle-ci est det A
−1 . On obtient ainsi
f M (x) =
1
2π
exp
−
1
2
t x
t (A
−1 ) A
−1 x
| det A
−1
|,
d’o` u la formule (5.4), puisque
t (A
−1 ) = (
t A)
−1 et (
t A)
−1 A
−1 = (A
t
A)
−1 .