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CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
est un tel ´ ev` enement, puisqu’on peut ´ ecrire : I {X h(x, y) = I {x une telle indicatrice. Se rappelant que l’on a P(A) = E[I A ], on trouve encore
P(A) = E[I A ] = E[ E[I A | X] ].
D’o` u, en posant les d´ efinitions
P{A | X = x} = E[I A | X = x],
(4.2)
P{A | X} = E[I A | X],
(4.3)
on trouve l’identit´ e
P(A) =
R
P{A | X = x} f X (x) dx.
(4.4)
La fonction P{A | X = x} est la probabilit´ e de A conditionnelle `
a {X = x}.
La formule (4.4) est fr´ equemment utilis´ ee dans l’´ evaluation de certaines
probabilit´ es, une fois que l’on sait calculer P{A | X = x}.
Exemple 1. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires absolument
continues. ´
Evaluons d’abord la formule P{X < Y | X = x}, en utilisant les
fonctions h(x, y) = I {x P{X < Y | X = x} = E[I {X =
R
h(x, y) f Y | X (y | x) dy =
R
I {x =
R
I {x R
g(y) f Y | X (y | x) dy
= E[g ◦ Y | X = x] = E[I {x Si les variables X et Y sont ind´ ependantes, on a f Y | X (y | x)(y) = f Y (y), de
sorte que
P{X < Y | X = x} = P{x < Y | X = x} =
R
I {x =
R
I {x Exemple 2. — Si X et Y sont deux variables al´ eatoires r´ eelles, ind´ ependantes, suivant chacune une loi exponentielle de param` etre λ et µ, respectivement, alors P{X < Y } = λ/(λ + µ).
En effet, la densit´ e de X est donn´ ee par f X (x) = λe
−λx I {x≥0} . D’apr` es
(4.3) et l’Exemple 1, on a :
P{X < Y } =
∞
0
P{X < Y | X = x} f X (x) dx
=
∞
0
P{Y > x | X = x} f X (x) dx =
∞
0
P{Y > x} f X (x) dx
=
∞
0
e
−µx λe
−λx dx = λ
∞
0
e
−(λ+µ)x dx =
λ
λ + µ
.