COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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l’´ enonc´ e du th´ eor` eme de Weierstrass. De plus, les polynˆ omes approchants
sont explicit´ es. On les appelle les polynˆ omes de Bernstein.
6. — Consid´ erons la boule B n (0, R) de R
n (n ≥ 1), de centre 0 et de
rayon R ≥ 0. Son volume est donn´ e par V n (R) = π
n/2 R
n /Γ(1 + n/2) (cf.
Exercice 12, chap. 14). Projetons ce volume sur l’un des axes de coordonn´ ees
(que nous prendrons comme axe des x) ; on obtient une distribution de
masses sur R, qui admet une densit´ e g n (x, R), que l’on norme pour avoir une
densit´ e de probabilit´ e : f n (x, R) = g n (x, R)/V n (R). Prenons R =
√
n ; il est
remarquable de constater que la suite des densit´ es de probabilit´ e f n (x,
√
n)
converge ponctuellement, lorsque n tend vers l’infini, vers la densit´ e de la loi
normale N (0, 1) ; autrement dit, pour tout x r´ eel, on a :
f n (x,
√
n ) →
1
√
2π
e
−x
2 /2
(n → ∞).
7. — Soit (u n ) (n ≥ 1) une suite de nombres r´ eels tels que pour tout
n ≥ 1 on ait 0 < u n ≤ 1 ; soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de variables
al´ eatoires ind´ ependantes telles que pour tout n ≥ 1 la loi de X n soit la
loi : u n ε 1/u n + (1 − u n )ε 0 . Alors
1) Pour tout n ≥ 1 on a E[X n ] = 1.
2) X n
p
−→ 0 si et seulement si u n → 0.
3) X n
p.s.
−→ 0 si et seulement si
n≥1
u n < +∞.
On note que si (u n ) (n ≥ 1) est une suite telle que la s´ erie de terme
g´ en´ eral u n est convergente, il r´ esulte de 3) et du th´ eor` eme de C´ esaro que
l’on a
X 1 + · · · + X n
n
p.s.
−→ 0 et pourtant pour tout n ≥ 1 on a E[X n ] = 1.