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CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
D´ emonstration. — Supposons toujours le couple (X, Y ) absolument
continu et utilisons les notations ci-dessus
E[ [Y − u(X)]
2 ] =
R 2
[y − u(x)]
2 f X,Y (x, y) dx dy
=
R
f X (x)
R
[y − u(x)]
2 f Y | X (y | x) dy
dx.
Pour tout nombre r´ eel x fix´ e, l’int´ egrale entre crochets au dernier membre
est minimum pour u(x) =
R
y f Y | X (y | x) dy = E[Y | X = x], d’apr` es la
Proposition 5.3 du chap. 8, ´ enonc´ ee pour les variables al´ eatoires discr` etes,
mais en fait valable pour les variables al´ eatoires quelconques.
4. R` egles de calcul concernant les esp´ erances conditionnelles
Nous regroupons dans ce paragraphe quelques r` egles de calcul sur les
esp´ erances conditionnelles. Les notations pr´ ec´ edentes concernant toutes les
esp´ erances (conditionnelles ou non) de X et de Y sont conserv´ ees. On ´ ecrit
indiff´ eremment E[Y | X] ou E X [Y ]. Les symboles g, h (avec ou sans indices)
d´ esignent des fonctions r´ eelles mesurables dont les arguments sont ´ evidents
d’apr` es l’´ ecriture. Nous supposons enfin que toutes les esp´ erances qui interviennent existent.
Soit tout d’abord h une fonction r´ eelle mesurable de deux variables r´ eelles.
Le produit de composition h ◦ (X, Y ) est une variable al´ eatoire r´ eelle. On
d´ efinit son esp´ erance math´ ematique conditionnelle `
a {X = x} par :
(4.1)
E[h ◦ (X, Y ) | X = x] =
R
h(x, y) f Y | X (y | x) dy.
Lorsque h(x, y) = y, on retrouve bien la d´ efinition (3.4).
Th´ eor` eme 4.1
1) On a les identit´ es :
E[ E[h ◦ (X, Y ) | X] ] =
E[h ◦ (X, Y ) | X = x] f X (x) dx = E[h ◦ (X, Y )].
En prenant, en particulier, h(x, y) = g(y), on obtient la formule de
l’esp´ erance conditionnelle du Th´ eor` eme 3.3 pour la variable g ◦ Y :
E[ E[ g ◦ Y | X ] ] =
E[ g ◦ Y | X = x] f X (x) dx = E[g ◦ Y ].
2) Si X, Y sont ind´ ependantes, alors E[g ◦ Y | X] = E[g ◦ Y ].
3) On a toujours : E[g ◦ X | X] = g ◦ X.
4) Pour X et Y quelconques, on a
E X [ E X [Y ] ] = E X [Y ];
E[(g 1 ◦ X)(g 2 ◦ Y ) | X] = (g 1 ◦ X) E[g 2 ◦ Y | X].
Ainsi, dans le calcul de l’esp´ erance math´ ematique conditionnelle par rapport
` a X, la fonction g 1 ◦ X se comporte comme une constante.
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
D´ emonstration. — Supposons toujours le couple (X, Y ) absolument
continu et utilisons les notations ci-dessus
E[ [Y − u(X)]
2 ] =
R 2
[y − u(x)]
2 f X,Y (x, y) dx dy
=
R
f X (x)
R
[y − u(x)]
2 f Y | X (y | x) dy
dx.
Pour tout nombre r´ eel x fix´ e, l’int´ egrale entre crochets au dernier membre
est minimum pour u(x) =
R
y f Y | X (y | x) dy = E[Y | X = x], d’apr` es la
Proposition 5.3 du chap. 8, ´ enonc´ ee pour les variables al´ eatoires discr` etes,
mais en fait valable pour les variables al´ eatoires quelconques.
4. R` egles de calcul concernant les esp´ erances conditionnelles
Nous regroupons dans ce paragraphe quelques r` egles de calcul sur les
esp´ erances conditionnelles. Les notations pr´ ec´ edentes concernant toutes les
esp´ erances (conditionnelles ou non) de X et de Y sont conserv´ ees. On ´ ecrit
indiff´ eremment E[Y | X] ou E X [Y ]. Les symboles g, h (avec ou sans indices)
d´ esignent des fonctions r´ eelles mesurables dont les arguments sont ´ evidents
d’apr` es l’´ ecriture. Nous supposons enfin que toutes les esp´ erances qui interviennent existent.
Soit tout d’abord h une fonction r´ eelle mesurable de deux variables r´ eelles.
Le produit de composition h ◦ (X, Y ) est une variable al´ eatoire r´ eelle. On
d´ efinit son esp´ erance math´ ematique conditionnelle `
a {X = x} par :
(4.1)
E[h ◦ (X, Y ) | X = x] =
R
h(x, y) f Y | X (y | x) dy.
Lorsque h(x, y) = y, on retrouve bien la d´ efinition (3.4).
Th´ eor` eme 4.1
1) On a les identit´ es :
E[ E[h ◦ (X, Y ) | X] ] =
E[h ◦ (X, Y ) | X = x] f X (x) dx = E[h ◦ (X, Y )].
En prenant, en particulier, h(x, y) = g(y), on obtient la formule de
l’esp´ erance conditionnelle du Th´ eor` eme 3.3 pour la variable g ◦ Y :
E[ E[ g ◦ Y | X ] ] =
E[ g ◦ Y | X = x] f X (x) dx = E[g ◦ Y ].
2) Si X, Y sont ind´ ependantes, alors E[g ◦ Y | X] = E[g ◦ Y ].
3) On a toujours : E[g ◦ X | X] = g ◦ X.
4) Pour X et Y quelconques, on a
E X [ E X [Y ] ] = E X [Y ];
E[(g 1 ◦ X)(g 2 ◦ Y ) | X] = (g 1 ◦ X) E[g 2 ◦ Y | X].
Ainsi, dans le calcul de l’esp´ erance math´ ematique conditionnelle par rapport
` a X, la fonction g 1 ◦ X se comporte comme une constante.