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CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
Remarque 1. — Il r´ esulte de cette d´ efinition que, pour presque tout x, on
a, pour presque tout y,
(3.2)
f X,Y (x, y) = f X (x)f Y | X (y | x).
En effet, cette ´ egalit´ e est vraie par d´ efinition si f X (x) > 0. Supposons
f X (x 0 ) = 0, c’est-` a-dire
R
f X,Y (x 0 , y) dy = 0, alors f X,Y (x 0 , y) = 0 pour
presque tout y, d’o` u f X,Y (x 0 , y) = f X (x 0 )f Y | X (y | x 0 ) pour presque tout y.
On voit de mˆ eme que, pour presque tout y, on a, pour presque tout x,
(3.3)
f X,Y (x, y) = f Y (y)f X | Y (x | y).
Remarque 2. — Il en r´ esulte que
f X (x) =
f X | Y (x | y) f Y (y) dy,
f Y (y) =
f Y | X (y | x) f X (x) dx,
c’est-` a-dire chacune des densit´ es marginales est une combinaison convexe de
densit´ es conditionnelles.
Proposition 3.1. — Pour tout x la fonction f Y | X (· | x) poss` ede toutes
les propri´ et´ es d’une densit´ e de probabilit´ e. De mˆ eme, pour tout y, la fonction
f X | Y (· | y) poss` ede toutes les propri´ et´ es d’une densit´ e de probabilit´ e.
Les d´ emonstrations sont imm´ ediates.
Proposition 3.2. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires
absolument continu. D´ esignons par f X (x), f Y (y), f Y | X (· | x), f X | Y (· | y) les
densit´ es marginales et conditionnelles. Si le couple (X, Y ) est ind´ ependant,
alors
1) Pour tout x tel que f X (x) > 0, on a f Y | X (y | x) = f Y (y).
2) Pour tout y tel que f Y (y) > 0, on a f X | Y (x | y) = f X (x).
Les d´ emonstrations sont imm´ ediates.
D´ efinition (Esp´ erance math´ ematique conditionnelle). — Soit (X, Y ) un
couple de variables al´ eatoires absolument continu. On conserve toutes les
notations pr´ ec´ edentes pour les densit´ es marginales et conditionnelles. En
particulier, f Y | X (· | x) d´ esigne la densit´ e de Y conditionnelle `
a {X =
x}. Pour tout x r´ eel, l’int´ egrale
R
y f Y | X (y | x) dy, si elle est absolument
convergente, peut s’interpr´ eter comme l’esp´ erance math´ ematique de Y par
rapport `
a la loi de probabilit´ e de densit´ e f Y | X (· | x). Si donc l’int´ egrale
pr´ ec´ edente est absolument convergente, on pose
(3.4)
E[Y | X = x] =
R
y f Y | X (y | x) dy
et on appelle cette int´ egrale l’esp´ erance math´ ematique de Y conditionnelle `
a
{X = x}.
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
Remarque 1. — Il r´ esulte de cette d´ efinition que, pour presque tout x, on
a, pour presque tout y,
(3.2)
f X,Y (x, y) = f X (x)f Y | X (y | x).
En effet, cette ´ egalit´ e est vraie par d´ efinition si f X (x) > 0. Supposons
f X (x 0 ) = 0, c’est-` a-dire
R
f X,Y (x 0 , y) dy = 0, alors f X,Y (x 0 , y) = 0 pour
presque tout y, d’o` u f X,Y (x 0 , y) = f X (x 0 )f Y | X (y | x 0 ) pour presque tout y.
On voit de mˆ eme que, pour presque tout y, on a, pour presque tout x,
(3.3)
f X,Y (x, y) = f Y (y)f X | Y (x | y).
Remarque 2. — Il en r´ esulte que
f X (x) =
f X | Y (x | y) f Y (y) dy,
f Y (y) =
f Y | X (y | x) f X (x) dx,
c’est-` a-dire chacune des densit´ es marginales est une combinaison convexe de
densit´ es conditionnelles.
Proposition 3.1. — Pour tout x la fonction f Y | X (· | x) poss` ede toutes
les propri´ et´ es d’une densit´ e de probabilit´ e. De mˆ eme, pour tout y, la fonction
f X | Y (· | y) poss` ede toutes les propri´ et´ es d’une densit´ e de probabilit´ e.
Les d´ emonstrations sont imm´ ediates.
Proposition 3.2. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires
absolument continu. D´ esignons par f X (x), f Y (y), f Y | X (· | x), f X | Y (· | y) les
densit´ es marginales et conditionnelles. Si le couple (X, Y ) est ind´ ependant,
alors
1) Pour tout x tel que f X (x) > 0, on a f Y | X (y | x) = f Y (y).
2) Pour tout y tel que f Y (y) > 0, on a f X | Y (x | y) = f X (x).
Les d´ emonstrations sont imm´ ediates.
D´ efinition (Esp´ erance math´ ematique conditionnelle). — Soit (X, Y ) un
couple de variables al´ eatoires absolument continu. On conserve toutes les
notations pr´ ec´ edentes pour les densit´ es marginales et conditionnelles. En
particulier, f Y | X (· | x) d´ esigne la densit´ e de Y conditionnelle `
a {X =
x}. Pour tout x r´ eel, l’int´ egrale
R
y f Y | X (y | x) dy, si elle est absolument
convergente, peut s’interpr´ eter comme l’esp´ erance math´ ematique de Y par
rapport `
a la loi de probabilit´ e de densit´ e f Y | X (· | x). Si donc l’int´ egrale
pr´ ec´ edente est absolument convergente, on pose
(3.4)
E[Y | X = x] =
R
y f Y | X (y | x) dy
et on appelle cette int´ egrale l’esp´ erance math´ ematique de Y conditionnelle `
a
{X = x}.