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CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
En prenant la d´ eriv´ ee mixte ∂
2 /∂x ∂y des deux cˆ ot´ es (elle existe Lebesguepresque partout), on obtient b).
b) ⇒ a). Supposons b) r´ ealis´ ee ; alors, pour tout (x, y) ∈ R
2 , on a :
F(x, y) =
]−∞,x]×]−∞,y]
f X (u) f Y (v) du dv
=
]−∞,x]
f X (u) du
]−∞,y]
f Y (v) dv = F X (x)F Y (y).
Il en r´ esulte que X et Y sont ind´ ependantes.
Proposition 2.4. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires
absolument continu, de densit´ e conjointe f et soit g : (R
2 , B
2 ) → (R, B
1 ) une
fonction mesurable. Alors g◦(X, Y ) est une variable al´ eatoire dont l’esp´ erance
math´ ematique est donn´ ee par
E[g ◦ (X, Y )] =
R 2
g(x, y)f (x, y) dx dy,
pourvu que l’int´ egrale au second membre soit absolument convergente.
3. Loi de probabilit´ e conditionnelle, esp´ erance math´ ematique
conditionnelle, r´ egression. — Quelle que soit la mani` ere d’aborder la
question, la d´ efinition de l’esp´ erance math´ ematique conditionnelle reste un
sujet difficile, si l’on veut en donner une d´ efinition avec toute la rigueur souhait´ ee. Nous allons traiter successivement les deux cas usuels, celui o` u le
couple de variables al´ eatoires (X, Y ) est discret et celui o` u (X, Y ) est absolument continu. On peut ´ evidemment introduire un formalisme qui permet
d’englober ces deux cas — c’est ce que nous proposons dans l’exercice 1. De
toute fa¸ con, il faut dans chaque cas trouver la formule explicite de la loi de
probabilit´ e conditionnelle ou de l’esp´ erance conditionnelle.
(A) Cas o` u le couple est discret. — Supposons que (X, Y ) soit un
couple de variables al´ eatoires discr` etes, prenant les valeurs (x i , y j ), o` u i
(resp. j) varie dans un ensemble fini ou d´ enombrable I (resp. J). Posons
P{X = x i , Y = y j } = p ij , P{X = x i } = p i. , P{Y = y j } = p .j . On suppose
que les x i (resp. y j ) sont tous distincts et les probabilit´ es p i. (resp. p .j ) toutes
strictement positives. Pour i ∈ I fix´ e et tout j ∈ J posons :
(3.1)
b i (j) = P{Y = y j | X = x i } =
P{X = x i , Y = y j }
P{X = x i }
=
p ij
p i.
.
La mesure discr` ete
j∈J b i (j) ε y j , port´ ee par les y j (j ∈ J), est une mesure
de probabilit´ e. Il est naturel de l’appeler loi de probabilit´ e de Y conditionnelle
` a {X = x i }.
Supposons que Y ait une esp´ erance math´ ematique finie, de sorte que la
s´ erie de terme g´ en´ eral p .j y j (j ∈ J) est absolument convergente. Par suite,
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
En prenant la d´ eriv´ ee mixte ∂
2 /∂x ∂y des deux cˆ ot´ es (elle existe Lebesguepresque partout), on obtient b).
b) ⇒ a). Supposons b) r´ ealis´ ee ; alors, pour tout (x, y) ∈ R
2 , on a :
F(x, y) =
]−∞,x]×]−∞,y]
f X (u) f Y (v) du dv
=
]−∞,x]
f X (u) du
]−∞,y]
f Y (v) dv = F X (x)F Y (y).
Il en r´ esulte que X et Y sont ind´ ependantes.
Proposition 2.4. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires
absolument continu, de densit´ e conjointe f et soit g : (R
2 , B
2 ) → (R, B
1 ) une
fonction mesurable. Alors g◦(X, Y ) est une variable al´ eatoire dont l’esp´ erance
math´ ematique est donn´ ee par
E[g ◦ (X, Y )] =
R 2
g(x, y)f (x, y) dx dy,
pourvu que l’int´ egrale au second membre soit absolument convergente.
3. Loi de probabilit´ e conditionnelle, esp´ erance math´ ematique
conditionnelle, r´ egression. — Quelle que soit la mani` ere d’aborder la
question, la d´ efinition de l’esp´ erance math´ ematique conditionnelle reste un
sujet difficile, si l’on veut en donner une d´ efinition avec toute la rigueur souhait´ ee. Nous allons traiter successivement les deux cas usuels, celui o` u le
couple de variables al´ eatoires (X, Y ) est discret et celui o` u (X, Y ) est absolument continu. On peut ´ evidemment introduire un formalisme qui permet
d’englober ces deux cas — c’est ce que nous proposons dans l’exercice 1. De
toute fa¸ con, il faut dans chaque cas trouver la formule explicite de la loi de
probabilit´ e conditionnelle ou de l’esp´ erance conditionnelle.
(A) Cas o` u le couple est discret. — Supposons que (X, Y ) soit un
couple de variables al´ eatoires discr` etes, prenant les valeurs (x i , y j ), o` u i
(resp. j) varie dans un ensemble fini ou d´ enombrable I (resp. J). Posons
P{X = x i , Y = y j } = p ij , P{X = x i } = p i. , P{Y = y j } = p .j . On suppose
que les x i (resp. y j ) sont tous distincts et les probabilit´ es p i. (resp. p .j ) toutes
strictement positives. Pour i ∈ I fix´ e et tout j ∈ J posons :
(3.1)
b i (j) = P{Y = y j | X = x i } =
P{X = x i , Y = y j }
P{X = x i }
=
p ij
p i.
.
La mesure discr` ete
j∈J b i (j) ε y j , port´ ee par les y j (j ∈ J), est une mesure
de probabilit´ e. Il est naturel de l’appeler loi de probabilit´ e de Y conditionnelle
` a {X = x i }.
Supposons que Y ait une esp´ erance math´ ematique finie, de sorte que la
s´ erie de terme g´ en´ eral p .j y j (j ∈ J) est absolument convergente. Par suite,