2. DENSIT ´
E DE PROBABILIT ´
E
143
2. Loi de probabilit´ e absolument continue, densit´ e de probabilit´ e
Comme pour les mesures de probabilit´ e sur la droite, il existe une classe
importante de mesures de probabilit´ e sur (R
2 , B
2 ), que l’on peut d´ efinir `
a
partir de fonctions r´ eelles positives, de deux variables r´ eelles, int´ egrables par
rapport `
a la mesure de Lebesgue sur ce dernier espace (cf. chap. 10, § 5). Ce
sont les mesures de probabilit´ e absolument continues. Leur d´ efinition formelle
est donn´ ee ci-apr` es en utilisant la terminologie des couples de variables
al´ eatoires. Par commodit´ e, nous d´ esignerons d´ esormais par (X, Y ) un couple
de variables al´ eatoires, au lieu de la notation (X 1 , X 2 ) utilis´ ee plus haut.
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires et P X,Y sa loi
conjointe. On dit que la loi P X,Y est absolument continue (par rapport `
a la
mesure de Lebesgue sur (R
2 , B
2 )), s’il existe une fonction mesurable `
a valeurs
positives f : (R
2 , B
2 ) → (R
+ , B
1 ) telle que pour tout B ∈ B
2 on ait :
(2.1)
P X,Y (B) =
B
f (x, y) dx dy =
R 2
f (x, y) I B (x, y) dx dy.
La fonction f est appel´ ee densit´ e de probabilit´ e conjointe de (la loi) de (X, Y ).
On la note aussi f X,Y (x, y).
Proposition 2.1. — Toute densit´ e de probabilit´ e conjointe f v´ erifie
a) f ≥ 0 ;
b)
R 2 f (x, y) dx dy = 1 ;
c) la fonction de r´ epartition conjointe F = F X,Y peut ˆ etre repr´ esent´ ee
par F(x, y) =
]−∞,x]×]−∞,y]
f (u, v) du dv ;
d) si f est continue au point (x 0 , y 0 ), alors f (x 0 , y 0 ) =
∂
2
∂x∂y
F (x, y) au
point (x, y) = (x 0 , y 0 ).
Proposition 2.2. — Si le couple (X, Y ) est absolument continu, alors
ses variables al´ eatoires marginales sont absolument continues et sa densit´ e
conjointe f (x, y) = f X,Y (x, y) d´ etermine les densit´ es marginales f X (x),
f Y (y) au moyen des formules :
f X (x) =
R
f X,Y (x, y) dy,
f Y (y) =
R
f X,Y (x, y) dx.
Proposition 2.3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires,
f (x, y) sa densit´ e conjointe et f X (x), f Y (y) les densit´ es marginales de X,
Y , respectivement. Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) X et Y sont ind´ ependantes ;
b) pour (Lebesgue)-presque tout (x, y) ∈ R
2 , on a
f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y).
D´ emonstration
a) ⇒ b). Supposons (X, Y ) ind´ ependant. Alors, en d´ esignant par
F = F X,Y sa fonction de r´ epartition conjointe et par F X , F Y ses fonctions
de r´ epartition marginales, il vient, pour tout (x, y) ∈ R
2
F(x, y) = F X (x)F Y (y).
E DE PROBABILIT ´
E
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2. Loi de probabilit´ e absolument continue, densit´ e de probabilit´ e
Comme pour les mesures de probabilit´ e sur la droite, il existe une classe
importante de mesures de probabilit´ e sur (R
2 , B
2 ), que l’on peut d´ efinir `
a
partir de fonctions r´ eelles positives, de deux variables r´ eelles, int´ egrables par
rapport `
a la mesure de Lebesgue sur ce dernier espace (cf. chap. 10, § 5). Ce
sont les mesures de probabilit´ e absolument continues. Leur d´ efinition formelle
est donn´ ee ci-apr` es en utilisant la terminologie des couples de variables
al´ eatoires. Par commodit´ e, nous d´ esignerons d´ esormais par (X, Y ) un couple
de variables al´ eatoires, au lieu de la notation (X 1 , X 2 ) utilis´ ee plus haut.
D´ efinition. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires et P X,Y sa loi
conjointe. On dit que la loi P X,Y est absolument continue (par rapport `
a la
mesure de Lebesgue sur (R
2 , B
2 )), s’il existe une fonction mesurable `
a valeurs
positives f : (R
2 , B
2 ) → (R
+ , B
1 ) telle que pour tout B ∈ B
2 on ait :
(2.1)
P X,Y (B) =
B
f (x, y) dx dy =
R 2
f (x, y) I B (x, y) dx dy.
La fonction f est appel´ ee densit´ e de probabilit´ e conjointe de (la loi) de (X, Y ).
On la note aussi f X,Y (x, y).
Proposition 2.1. — Toute densit´ e de probabilit´ e conjointe f v´ erifie
a) f ≥ 0 ;
b)
R 2 f (x, y) dx dy = 1 ;
c) la fonction de r´ epartition conjointe F = F X,Y peut ˆ etre repr´ esent´ ee
par F(x, y) =
]−∞,x]×]−∞,y]
f (u, v) du dv ;
d) si f est continue au point (x 0 , y 0 ), alors f (x 0 , y 0 ) =
∂
2
∂x∂y
F (x, y) au
point (x, y) = (x 0 , y 0 ).
Proposition 2.2. — Si le couple (X, Y ) est absolument continu, alors
ses variables al´ eatoires marginales sont absolument continues et sa densit´ e
conjointe f (x, y) = f X,Y (x, y) d´ etermine les densit´ es marginales f X (x),
f Y (y) au moyen des formules :
f X (x) =
R
f X,Y (x, y) dy,
f Y (y) =
R
f X,Y (x, y) dx.
Proposition 2.3. — Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires,
f (x, y) sa densit´ e conjointe et f X (x), f Y (y) les densit´ es marginales de X,
Y , respectivement. Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) X et Y sont ind´ ependantes ;
b) pour (Lebesgue)-presque tout (x, y) ∈ R
2 , on a
f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y).
D´ emonstration
a) ⇒ b). Supposons (X, Y ) ind´ ependant. Alors, en d´ esignant par
F = F X,Y sa fonction de r´ epartition conjointe et par F X , F Y ses fonctions
de r´ epartition marginales, il vient, pour tout (x, y) ∈ R
2
F(x, y) = F X (x)F Y (y).