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CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
D´ efinition. — On appelle fonction de r´ epartition (conjointe) de (la loi)
de X = (X 1 , X 2 ) la fonction de deux variables r´ eelles d´ efinie par
F(x 1 , x 2 ) = P{X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 }.
On voit qu’elle peut s’exprimer au moyen de la loi conjointe de X par
F(x 1 , x 2 ) = P X
] − ∞, x 1 ]×] − ∞, x 2 ]
.
Les fonctions de r´ epartition conjointes des couples de variables al´ eatoires
ne sont pas tr` es utilis´ ees, ne serait-ce qu’en raison du fait qu’il n’existe pas
de relation d’ordre naturelle sur R
2 ; aussi n’allons-nous pas en d´ ecrire les
propri´ et´ es (certaines ont d´ ej` a ´ et´ e ´ etudi´ es dans l’exercice 11 du chap. 5). Nous
mentionnons toutefois les trois propositions suivantes.
Proposition 1.2. — La donn´ ee de la fonction de r´ epartition conjointe
d’un couple X = (X 1 , X 2 ) ´ equivaut `
a celle de la loi de X.
Proposition 1.3. — La fonction de r´ epartition conjointe F d’un couple
X = (X 1 , X 2 ) permet de d´ eterminer les fonctions de r´ epartition F 1 , F 2 des
variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 (` a savoir les fonctions de r´ epartition
marginales) comme suit :
F 1 (x 1 ) = P{X 1 ≤ x 1 } = lim
x 2 →+∞
F(x 1 , x 2 ) = F(x 1 , +∞) ;
F 2 (x 2 ) = P{X 2 ≤ x 2 } = lim
x 1 →+∞
F(x 1 , x 2 ) = F(+∞, x 2 ).
Proposition 1.4. — Les variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 sont
ind´ ependantes, si et seulement si la fonction de r´ epartition conjointe du
couple (X 1 , X 2 ) est ´ egale au produit des fonctions de r´ epartition marginales.
Le th´ eor` eme du transfert a d´ ej` a ´ et´ e ´ enonc´ e au chap. 11, Th´ eor` eme 1.1, pour
les variables al´ eatoires r´ eelles. Nous nous contentons d’en donner un nouvel
´ enonc´ e pour les vecteurs al´ eatoires ` a deux dimensions. Sa d´ emonstration est
compl` etement analogue.
Th´ eor` eme 1.5 (th´ eor` eme du transfert). — Soient un vecteur al´ eatoire
X : (Ω, A, P) → (R
2 , B
2 ) et P X sa loi. Soit, d’autre part, g : (R
2 , B
2 ) →
(R, B
1 ) une fonction mesurable. Alors g ◦ X est une variable al´ eatoire. On a,
de plus, l’identit´ e
Ω
(g ◦ X) dP =
R 2
g dP X
=
R 2
g(x 1 , x 2 ) dP X (x 1 , x 2 )
,
pourvu que l’un de ses deux membres soit d´ efini en tant qu’int´ egrale abstraite,
c’est-` a-dire soit absolument convergent. Si c’est le cas, la valeur commune
de ses deux membres est not´ ee E[g ◦ X] ou E[g(X 1 , X 2 )].
Notons que le membre de droite de cette identit´ e est une int´ egrale sur
(R
2 , B
2 , P X ) et peut donc ˆ etre calcul´ e ` a partir de la loi P X de X.
CHAPITRE 12 : VECTEURS AL ´
EATOIRES
D´ efinition. — On appelle fonction de r´ epartition (conjointe) de (la loi)
de X = (X 1 , X 2 ) la fonction de deux variables r´ eelles d´ efinie par
F(x 1 , x 2 ) = P{X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 }.
On voit qu’elle peut s’exprimer au moyen de la loi conjointe de X par
F(x 1 , x 2 ) = P X
] − ∞, x 1 ]×] − ∞, x 2 ]
.
Les fonctions de r´ epartition conjointes des couples de variables al´ eatoires
ne sont pas tr` es utilis´ ees, ne serait-ce qu’en raison du fait qu’il n’existe pas
de relation d’ordre naturelle sur R
2 ; aussi n’allons-nous pas en d´ ecrire les
propri´ et´ es (certaines ont d´ ej` a ´ et´ e ´ etudi´ es dans l’exercice 11 du chap. 5). Nous
mentionnons toutefois les trois propositions suivantes.
Proposition 1.2. — La donn´ ee de la fonction de r´ epartition conjointe
d’un couple X = (X 1 , X 2 ) ´ equivaut `
a celle de la loi de X.
Proposition 1.3. — La fonction de r´ epartition conjointe F d’un couple
X = (X 1 , X 2 ) permet de d´ eterminer les fonctions de r´ epartition F 1 , F 2 des
variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 (` a savoir les fonctions de r´ epartition
marginales) comme suit :
F 1 (x 1 ) = P{X 1 ≤ x 1 } = lim
x 2 →+∞
F(x 1 , x 2 ) = F(x 1 , +∞) ;
F 2 (x 2 ) = P{X 2 ≤ x 2 } = lim
x 1 →+∞
F(x 1 , x 2 ) = F(+∞, x 2 ).
Proposition 1.4. — Les variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 sont
ind´ ependantes, si et seulement si la fonction de r´ epartition conjointe du
couple (X 1 , X 2 ) est ´ egale au produit des fonctions de r´ epartition marginales.
Le th´ eor` eme du transfert a d´ ej` a ´ et´ e ´ enonc´ e au chap. 11, Th´ eor` eme 1.1, pour
les variables al´ eatoires r´ eelles. Nous nous contentons d’en donner un nouvel
´ enonc´ e pour les vecteurs al´ eatoires ` a deux dimensions. Sa d´ emonstration est
compl` etement analogue.
Th´ eor` eme 1.5 (th´ eor` eme du transfert). — Soient un vecteur al´ eatoire
X : (Ω, A, P) → (R
2 , B
2 ) et P X sa loi. Soit, d’autre part, g : (R
2 , B
2 ) →
(R, B
1 ) une fonction mesurable. Alors g ◦ X est une variable al´ eatoire. On a,
de plus, l’identit´ e
Ω
(g ◦ X) dP =
R 2
g dP X
=
R 2
g(x 1 , x 2 ) dP X (x 1 , x 2 )
,
pourvu que l’un de ses deux membres soit d´ efini en tant qu’int´ egrale abstraite,
c’est-` a-dire soit absolument convergent. Si c’est le cas, la valeur commune
de ses deux membres est not´ ee E[g ◦ X] ou E[g(X 1 , X 2 )].
Notons que le membre de droite de cette identit´ e est une int´ egrale sur
(R
2 , B
2 , P X ) et peut donc ˆ etre calcul´ e ` a partir de la loi P X de X.