CHAPITRE 12
VECTEURS AL ´
EATOIRES ; ESP ´
ERANCE
CONDITIONNELLE. LOIS NORMALES
On trouve dans ce chapitre, d’abord une courte ´ etude des vecteurs
al´ eatoires ` a deux dimensions et de leurs lois de probabilit´ e. Pour la sous-classe
des vecteurs al´ eatoires dont la loi de probabilit´ e est absolument continue, on
donne ensuite un expos´ e sur l’esp´ erance conditionnelle, avec la liste des r` egles
de calcul. Le chapitre se termine par un traitement des lois normales `
a deux
dimensions.
1. D´ efinitions et premi` eres propri´ et´ es. — Comme d´ ej` a d´ efini au
chap. 5, § 3, une variable al´ eatoire `
a deux dimensions (on dit encore vecteur
al´ eatoire `
a deux dimensions) est une application mesurable X : (Ω, A, P) →
(R
2 , B
2 ). Consid´ erons les deux projections canoniques π i : (x 1 , x 2 ) → x i
(i = 1, 2) de R
2 dans R. Alors les applications coordonn´ ees de (Ω, A, P) dans
(R, B
1 ) d´ efinies par X i = π i ◦ X (i = 1, 2) sont toutes deux mesurables. Ce
sont donc deux variables al´ eatoires, appel´ ees variables al´ eatoires marginales.
On ´ ecrit souvent X = (X 1 , X 2 ) ou X =
X 1
X 2
et l’on parle aussi de couple
de variables al´ eatoires pour d´ esigner X.
Soit X : (Ω, A, P) → (R
2 , B
2 ) un vecteur al´ eatoire ` a deux dimensions.
Au chap. 5, § 4, on a d´ efini la loi de probabilit´ e du vecteur X comme ´ etant
l’application, not´ ee P X , qui envoie tout B ∈ B
2 sur le nombre P X (B) =
P(X
−1 (B)). D’apr` es la Proposition 4.1 du chap. 5, l’application P X est une
mesure de probabilit´ e sur (R
2 , B
2 ) appel´ ee loi de probabilit´ e de X. On dira
encore que c’est la loi conjointe du couple X = (X 1 , X 2 ).
Comme d´ ej` a v´ erifi´ e pour les variables al´ eatoires discr` etes (voir Corollaire 1.2 du chap. 8), la loi conjointe de X = (X 1 , X 2 ) d´ etermine les lois
des variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 (lois marginales). Ceci fait l’objet
de la prochaine proposition.
Proposition 1.1. — La loi conjointe P X de X = (X 1 , X 2 ) permet
de d´ eterminer les lois (dites marginales) P X 1 , P X 2 des variables al´ eatoires
marginales X 1 , X 2 , de la fa¸ con suivante. On a pour tout B ∈ B
1
P X i (B) = P X
π
−1
i (B)
(i = 1, 2),
c’est-` a-dire P X i est l’image de P X par l’application π i .
D´ emonstration. — On a X i = π i ◦ X. Pour tout B ∈ B
1 on en d´ eduit :
P X i (B) = P
X
−1
i (B)
= P
X
−1
◦ π
−1
i (B)
= P X
π
−1
i (B)
.
VECTEURS AL ´
EATOIRES ; ESP ´
ERANCE
CONDITIONNELLE. LOIS NORMALES
On trouve dans ce chapitre, d’abord une courte ´ etude des vecteurs
al´ eatoires ` a deux dimensions et de leurs lois de probabilit´ e. Pour la sous-classe
des vecteurs al´ eatoires dont la loi de probabilit´ e est absolument continue, on
donne ensuite un expos´ e sur l’esp´ erance conditionnelle, avec la liste des r` egles
de calcul. Le chapitre se termine par un traitement des lois normales `
a deux
dimensions.
1. D´ efinitions et premi` eres propri´ et´ es. — Comme d´ ej` a d´ efini au
chap. 5, § 3, une variable al´ eatoire `
a deux dimensions (on dit encore vecteur
al´ eatoire `
a deux dimensions) est une application mesurable X : (Ω, A, P) →
(R
2 , B
2 ). Consid´ erons les deux projections canoniques π i : (x 1 , x 2 ) → x i
(i = 1, 2) de R
2 dans R. Alors les applications coordonn´ ees de (Ω, A, P) dans
(R, B
1 ) d´ efinies par X i = π i ◦ X (i = 1, 2) sont toutes deux mesurables. Ce
sont donc deux variables al´ eatoires, appel´ ees variables al´ eatoires marginales.
On ´ ecrit souvent X = (X 1 , X 2 ) ou X =
X 1
X 2
et l’on parle aussi de couple
de variables al´ eatoires pour d´ esigner X.
Soit X : (Ω, A, P) → (R
2 , B
2 ) un vecteur al´ eatoire ` a deux dimensions.
Au chap. 5, § 4, on a d´ efini la loi de probabilit´ e du vecteur X comme ´ etant
l’application, not´ ee P X , qui envoie tout B ∈ B
2 sur le nombre P X (B) =
P(X
−1 (B)). D’apr` es la Proposition 4.1 du chap. 5, l’application P X est une
mesure de probabilit´ e sur (R
2 , B
2 ) appel´ ee loi de probabilit´ e de X. On dira
encore que c’est la loi conjointe du couple X = (X 1 , X 2 ).
Comme d´ ej` a v´ erifi´ e pour les variables al´ eatoires discr` etes (voir Corollaire 1.2 du chap. 8), la loi conjointe de X = (X 1 , X 2 ) d´ etermine les lois
des variables al´ eatoires marginales X 1 , X 2 (lois marginales). Ceci fait l’objet
de la prochaine proposition.
Proposition 1.1. — La loi conjointe P X de X = (X 1 , X 2 ) permet
de d´ eterminer les lois (dites marginales) P X 1 , P X 2 des variables al´ eatoires
marginales X 1 , X 2 , de la fa¸ con suivante. On a pour tout B ∈ B
1
P X i (B) = P X
π
−1
i (B)
(i = 1, 2),
c’est-` a-dire P X i est l’image de P X par l’application π i .
D´ emonstration. — On a X i = π i ◦ X. Pour tout B ∈ B
1 on en d´ eduit :
P X i (B) = P
X
−1
i (B)
= P
X
−1
◦ π
−1
i (B)
= P X
π
−1
i (B)
.