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CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
par M la m´ ediane (voir chap. 8, § 10) de X et par E[X] son esp´ erance
math´ ematique (qui peut ˆ etre ´ egale ` a +∞). Alors M ≤ E[X].
5. — Soient X 1 , X 2 , X 3 trois variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune
de loi uniforme sur [0, 1]. Calculer les densit´ es de probabilit´ e de X 1 + X 2 ,
X 1 + X 2 + X 3 , X 1 − X 2 .
6. — Soit X une variable al´ eatoire de densit´ e f (x) = I [0,1] (x). Alors la
variable centr´ ee Y = X −
1
2 a pour densit´ e g(x) = f (y +
1
2 ) = I [−1/2,1/2] (y) ;
sa loi est la loi uniforme sur [−1/2, 1/2]. Soient ensuite X 1 , X 2 , X 3 trois
variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune de loi uniforme sur [0, 1]. Alors
Y 1 = X 1 −
1
2 , Y 2 = X 2 −
1
2 , Y 3 = X 3 −
1
2 sont trois variables al´ eatoires
ind´ ependantes, chacune de loi uniforme sur [−1/2, 1/2]. D´ eterminer les lois
de Y 1 + Y 2 , de Y 1 + Y 2 + Y 3 et de Y 1 − Y 2 .
7. — Soient n ≥ 2 et X 1 , X 2 , . . . , X n une suite de n variables al´ eatoires
ind´ ependantes, chacune de loi uniforme sur [0, 1]. Soit f n la densit´ e de la
somme X 1 + X 2 + · · · + X n . Pour tout x r´ eel, on pose (x)
+ = max(0, x). La
densit´ e f n est donn´ ee par :
f n (x) =
n−1
k=0
(−1)
k
n
k
((x − k)
+ )
n−1
(n − 1)!
, si 0 ≤ x ≤ n ;
0,
sinon.
Noter qu’un calcul direct de f 2 et f 3 a ´ et´ e demand´ e dans l’exercice 5.
8. — Soient n ≥ 1 et X 1 , X 2 , . . . , X n une suite de n variables al´ eatoires,
ind´ ependantes, chacune suivant la loi uniforme sur [0, 1]. On note f n (resp.
F n ) la densit´ e (resp. la fonction de r´ epartition) du produit X = X 1 X 2 · · · X n .
Alors
(a) f n (x) =
(− Log x)
n−1
(n − 1)!
I [0,1] (x) ;
(b) F n (x) = x
1 +
(− Log x)
1!
+
(− Log x)
2
2!
+ · · · +
(− Log x)
n−1
(n − 1)!
, si
x ∈ [0, 1] et F n (x) = 0 si x < 0 ; F n (x) = 1, si x > 1.
On remarque que, lorsque n tend vers l’infini, on a F n (x) → xe
− log x = 1,
pour tout x ∈]0, 1[, c’est-` a-dire X 1 X 2 · · · X n
L
−→ 0 (cf. Chap. 16, § 1).
[Indication : pour (a) commencer par calculer f 2 au moyen de la loi du
produit (p. 200). Une simple r´ ecurrence fournit la valeur f n pour n ≥ 2. Pour
obtenir (b), effectuer une simple int´ egration.]
CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
par M la m´ ediane (voir chap. 8, § 10) de X et par E[X] son esp´ erance
math´ ematique (qui peut ˆ etre ´ egale ` a +∞). Alors M ≤ E[X].
5. — Soient X 1 , X 2 , X 3 trois variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune
de loi uniforme sur [0, 1]. Calculer les densit´ es de probabilit´ e de X 1 + X 2 ,
X 1 + X 2 + X 3 , X 1 − X 2 .
6. — Soit X une variable al´ eatoire de densit´ e f (x) = I [0,1] (x). Alors la
variable centr´ ee Y = X −
1
2 a pour densit´ e g(x) = f (y +
1
2 ) = I [−1/2,1/2] (y) ;
sa loi est la loi uniforme sur [−1/2, 1/2]. Soient ensuite X 1 , X 2 , X 3 trois
variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune de loi uniforme sur [0, 1]. Alors
Y 1 = X 1 −
1
2 , Y 2 = X 2 −
1
2 , Y 3 = X 3 −
1
2 sont trois variables al´ eatoires
ind´ ependantes, chacune de loi uniforme sur [−1/2, 1/2]. D´ eterminer les lois
de Y 1 + Y 2 , de Y 1 + Y 2 + Y 3 et de Y 1 − Y 2 .
7. — Soient n ≥ 2 et X 1 , X 2 , . . . , X n une suite de n variables al´ eatoires
ind´ ependantes, chacune de loi uniforme sur [0, 1]. Soit f n la densit´ e de la
somme X 1 + X 2 + · · · + X n . Pour tout x r´ eel, on pose (x)
+ = max(0, x). La
densit´ e f n est donn´ ee par :
f n (x) =
n−1
k=0
(−1)
k
n
k
((x − k)
+ )
n−1
(n − 1)!
, si 0 ≤ x ≤ n ;
0,
sinon.
Noter qu’un calcul direct de f 2 et f 3 a ´ et´ e demand´ e dans l’exercice 5.
8. — Soient n ≥ 1 et X 1 , X 2 , . . . , X n une suite de n variables al´ eatoires,
ind´ ependantes, chacune suivant la loi uniforme sur [0, 1]. On note f n (resp.
F n ) la densit´ e (resp. la fonction de r´ epartition) du produit X = X 1 X 2 · · · X n .
Alors
(a) f n (x) =
(− Log x)
n−1
(n − 1)!
I [0,1] (x) ;
(b) F n (x) = x
1 +
(− Log x)
1!
+
(− Log x)
2
2!
+ · · · +
(− Log x)
n−1
(n − 1)!
, si
x ∈ [0, 1] et F n (x) = 0 si x < 0 ; F n (x) = 1, si x > 1.
On remarque que, lorsque n tend vers l’infini, on a F n (x) → xe
− log x = 1,
pour tout x ∈]0, 1[, c’est-` a-dire X 1 X 2 · · · X n
L
−→ 0 (cf. Chap. 16, § 1).
[Indication : pour (a) commencer par calculer f 2 au moyen de la loi du
produit (p. 200). Une simple r´ ecurrence fournit la valeur f n pour n ≥ 2. Pour
obtenir (b), effectuer une simple int´ egration.]