COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Dans l’Application du Th´ eor` eme 2.3, on a d´ emontr´ e que, lorsque
deux variables al´ eatoires X 1 et X 2 sont ind´ ependantes, l’esp´ erance math´ ematique de leur produit est ´ egale au produit de leurs esp´ erances math´ ematiques.
La d´ emonstration donn´ ee utilise le fait que l’on peut d´ efinir ces esp´ erances
par rapport `
a l’espace probabilis´ e (R
2 , B
2 , P 1 ⊗ P 2 ). On peut aussi faire la
d´ emonstration par rapport `
a l’espace probabilis´ e abstrait (Ω, A, P) sur lequel
ces deux variables al´ eatoires sont d´ efinies. On a recours alors aux techniques
de construction de l’int´ egrale d´ evelopp´ ees au chapitre 10.
D’abord, E[X 1 X 2 ] = E[X 1 ] E[X 2 ] lorsque X 1 et X 2 sont des variables
al´ eatoires simples positives, puisque cette relation a d´ ej` a ´ et´ e ´ etablie au
chap. 8, Th´ eor` eme 4.3 (C), pour les variables al´ eatoires discr` etes.
a) Utiliser la d´ ecomposition (5.4.1) du chap. 10, appliqu´ ee ` a deux
variables al´ eatoires positives, pour montrer que la pr´ ec´ edente relation est
encore vraie pour les variables al´ eatoires positives.
b) Conclure que la relation est vraie pour des variables al´ eatoires quelconques (admettant toutefois des esp´ erances math´ ematiques finies !) en utilisant les repr´ esentations habituelles : X i = X
+
i − X
−
i (i = 1, 2).
2. — Soient X une variable al´ eatoire absolument continue, f X sa densit´ e de probabilit´ e, S X son support (cf. le commentaire suivant la Proposition 4.3). Soit d’autre part h = R → R une fonction mesurable telle que
l’ensemble h(S X ) soit fini ou d´ enombrable. Montrer que la variable al´ eatoire
Y = h ◦ X est alors discr` ete
a) de support S Y ⊂ h(S X ) ;
b) de fonction de masse : ∀y ∈ S Y , π Y (y) =
h −1 ({y})
f X (x) dx.
3. — Soient X une variable al´ eatoire absolument continue, f X sa densit´ e
de probabilit´ e suppos´ ee continue, S X son support. Soit d’autre part h : R →
R une fonction continˆ ument d´ erivable et strictement monotone. Montrer que
la variable al´ eatoire Y = ϕ ◦ X est alors absolument continue
a) de support S Y = f (S X ) ;
b) de densit´ e de probabilit´ e
f Y (y) =
f X
h
−1 (y)
h
−1 (y)
, si y ∈ S Y ;
0,
sinon.
4. (Ph. Artzner). — Soit X une variable al´ eatoire positive admettant
une densit´ e f continˆ ument d´ erivable et strictement d´ ecroissante. D´ esignons
EMENTS ET EXERCICES
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EMENTS ET EXERCICES
1. — Dans l’Application du Th´ eor` eme 2.3, on a d´ emontr´ e que, lorsque
deux variables al´ eatoires X 1 et X 2 sont ind´ ependantes, l’esp´ erance math´ ematique de leur produit est ´ egale au produit de leurs esp´ erances math´ ematiques.
La d´ emonstration donn´ ee utilise le fait que l’on peut d´ efinir ces esp´ erances
par rapport `
a l’espace probabilis´ e (R
2 , B
2 , P 1 ⊗ P 2 ). On peut aussi faire la
d´ emonstration par rapport `
a l’espace probabilis´ e abstrait (Ω, A, P) sur lequel
ces deux variables al´ eatoires sont d´ efinies. On a recours alors aux techniques
de construction de l’int´ egrale d´ evelopp´ ees au chapitre 10.
D’abord, E[X 1 X 2 ] = E[X 1 ] E[X 2 ] lorsque X 1 et X 2 sont des variables
al´ eatoires simples positives, puisque cette relation a d´ ej` a ´ et´ e ´ etablie au
chap. 8, Th´ eor` eme 4.3 (C), pour les variables al´ eatoires discr` etes.
a) Utiliser la d´ ecomposition (5.4.1) du chap. 10, appliqu´ ee ` a deux
variables al´ eatoires positives, pour montrer que la pr´ ec´ edente relation est
encore vraie pour les variables al´ eatoires positives.
b) Conclure que la relation est vraie pour des variables al´ eatoires quelconques (admettant toutefois des esp´ erances math´ ematiques finies !) en utilisant les repr´ esentations habituelles : X i = X
+
i − X
−
i (i = 1, 2).
2. — Soient X une variable al´ eatoire absolument continue, f X sa densit´ e de probabilit´ e, S X son support (cf. le commentaire suivant la Proposition 4.3). Soit d’autre part h = R → R une fonction mesurable telle que
l’ensemble h(S X ) soit fini ou d´ enombrable. Montrer que la variable al´ eatoire
Y = h ◦ X est alors discr` ete
a) de support S Y ⊂ h(S X ) ;
b) de fonction de masse : ∀y ∈ S Y , π Y (y) =
h −1 ({y})
f X (x) dx.
3. — Soient X une variable al´ eatoire absolument continue, f X sa densit´ e
de probabilit´ e suppos´ ee continue, S X son support. Soit d’autre part h : R →
R une fonction continˆ ument d´ erivable et strictement monotone. Montrer que
la variable al´ eatoire Y = ϕ ◦ X est alors absolument continue
a) de support S Y = f (S X ) ;
b) de densit´ e de probabilit´ e
f Y (y) =
f X
h
−1 (y)
h
−1 (y)
, si y ∈ S Y ;
0,
sinon.
4. (Ph. Artzner). — Soit X une variable al´ eatoire positive admettant
une densit´ e f continˆ ument d´ erivable et strictement d´ ecroissante. D´ esignons