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CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
faudrait d´ emontrer que c’est toujours possible ; admettons ce r´ esultat ici) et
notons g la fonction r´ eelle de deux variables r´ eelles : g(x, y) = x + y. En
d´ esignant par P T la loi du couple T = (X, Y ), on a X + Y = g ◦ T , puis
H(z) = P{X + Y ≤ z} = P{g ◦ T ≤ z} = P T {g ≤ z}. D’o` u
H(z) =
R 2
I {g≤z} (x, y) dP T (x, y),
soit, d’apr` es le Th´ eor` eme de Fubini 2.3,
H(z) =
R
dP Y (y)
R
I {g≤z} (x, y) dP X (x).
Or I {g≤z} (x, y) = 1 si x + y ≤ z et 0 autrement. D’o` u
I {g≤z} (x, y) = I { ]−∞,z−y] } (x)
et donc
H(z) =
R
dP Y (y)
R
I { ]−∞,z−y] } (x) dP X (x)
=
R
F(z − y) dP Y (y) =
R
F(z − y) dG(y).
On obtient l’´ egalit´ e avec le membre tout ` a droite de (6.3) en int´ egrant d’abord
par rapport `
a y.
Cette proposition, et tout particuli` erement la formule (6.2), entraˆ ıne que
le produit de convolution est commutatif et associatif :
P ∗ Q = Q ∗ P,
P ∗ (Q ∗ R) = (P ∗ Q) ∗ R.
Lorsque les lois F et G sont absolument continues, on a le r´ esultat suivant.
Proposition 6.2. — Si F et G admettent des densit´ es f et g, alors
H = F ∗ G admet la densit´ e h donn´ ee par :
(6.4)
h(z) =
R
f (z − y) g(y) dy =
R
g(z − x) f (x) dx.
La densit´ e h est appel´ ee le produit de convolution des densit´ es f , g, et est
not´ ee f ∗ g.
D´ emonstration. — Par d´ efinition des densit´ es de probabilit´ e, on a :
H(z) =
R
F (z − y) dG(y) =
+∞
−∞
z−y
−∞
f (x) dx
g(y) dy
=
+∞
−∞
z
−∞
f (x − y) dx
g(y) dy
=
z
−∞
+∞
−∞
f (x − y)g(y) dy
dx,
par le th´ eor` eme de Fubini appliqu´ e aux int´ egrales doubles sur R
2 . D’o` u
h(z) =
f (z − y)g(y) dy est une densit´ e pour H(z).