6. CONVOLUTION
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pas le cas g´ en´ eral des variables al´ eatoires diffuses : en d’autres termes, il existe
des variables al´ eatoires diffuses qui ne sont pas absolument continues. Ces
variables al´ eatoires sont appel´ ees singuli` eres ; l’exemple type en est fourni par
une variable al´ eatoire dont la fonction de r´ epartition est celle de l’ensemble
triadique de Cantor sur [0, 1]. Nous ne les ´ etudierons pas ici et nous nous
bornerons `
a ´ enoncer le th´ eor` eme suivant dˆ u `
a Lebesgue.
Th´ eor` eme 5.1 (cf. Munroe [8], chap. 6). — Soit F une fonction de
r´ epartition. Alors il existe trois fonctions de r´ epartition F 1 discr` ete, F 2
absolument continue, F 3 singuli` ere et trois nombres r´ eels α 1 , α 2 , α 3 v´ erifiant
α 1 , α 2 , α 3 ≥ 0, α 1 + α 2 + α 3 = 1 tels que F puisse ˆ etre repr´ esent´ ee sous la
forme :
F = α 1 F 1 + α 2 F 2 + α 3 F 3 .
En d’autres termes, toute fonction de r´ epartition peut ˆ etre repr´ esent´ ee
comme combinaison convexe de fonctions de r´ epartition des trois types fondamentaux. Cette repr´ esentation est en outre unique, si tous les coefficients
de la combinaison lin´ eaire sont strictement positifs.
6. Convolution. — Le produit de convolution de deux lois discr` etes a
´ et´ e ´ etudi´ e au chap. 8, § 3. Nous traitons ici le cas des mesures de probabilit´ e
quelconques sur la droite.
D´ efinition. — Soient P et Q deux mesures de probabilit´ e sur la droite,
dont les fonctions de r´ epartition correspondantes sont F et G. On appelle
produit de convolution de P et Q (ou de F et G), la mesure de probabilit´ e,
not´ ee P ∗ Q, dont la fonction de r´ epartition, not´ ee F ∗ G, est donn´ ee par
(6.1)
H(z) = (F ∗ G)(z) =
F(z − y) dG(y) =
G(z − x) dF(x).
On v´ erifie que H est bien une fonction de r´ epartition. Que les deux termes
de droite de (6.1) soient ´ egaux r´ esulte de la proposition suivante.
Proposition 6.1. — Soient X et Y deux variables al´ eatoires r´ eelles,
de lois P X et P Y , de fonctions de r´ epartition F et G. Si X et Y sont
ind´ ependantes, la loi de la somme X + Y est le produit de convolution de
P X et P Y ; ou encore la loi P X+Y de X + Y est donn´ e par
(6.2)
P X+Y = P X ∗ P Y ;
ou enfin la fonction de r´ epartition H de X + Y est donn´ ee par
(6.3) H(z) = (F ∗ G)(z) =
F(z − y) dG(y) =
G(z − x) dF(x).
D´ emonstration. — D’apr` es le Th´ eor` eme 2.2, la loi du couple (X, Y )
est la mesure de probabilit´ e produit P X ⊗ P Y . Supposons que X et Y
sont d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) (en toute rigueur, il
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pas le cas g´ en´ eral des variables al´ eatoires diffuses : en d’autres termes, il existe
des variables al´ eatoires diffuses qui ne sont pas absolument continues. Ces
variables al´ eatoires sont appel´ ees singuli` eres ; l’exemple type en est fourni par
une variable al´ eatoire dont la fonction de r´ epartition est celle de l’ensemble
triadique de Cantor sur [0, 1]. Nous ne les ´ etudierons pas ici et nous nous
bornerons `
a ´ enoncer le th´ eor` eme suivant dˆ u `
a Lebesgue.
Th´ eor` eme 5.1 (cf. Munroe [8], chap. 6). — Soit F une fonction de
r´ epartition. Alors il existe trois fonctions de r´ epartition F 1 discr` ete, F 2
absolument continue, F 3 singuli` ere et trois nombres r´ eels α 1 , α 2 , α 3 v´ erifiant
α 1 , α 2 , α 3 ≥ 0, α 1 + α 2 + α 3 = 1 tels que F puisse ˆ etre repr´ esent´ ee sous la
forme :
F = α 1 F 1 + α 2 F 2 + α 3 F 3 .
En d’autres termes, toute fonction de r´ epartition peut ˆ etre repr´ esent´ ee
comme combinaison convexe de fonctions de r´ epartition des trois types fondamentaux. Cette repr´ esentation est en outre unique, si tous les coefficients
de la combinaison lin´ eaire sont strictement positifs.
6. Convolution. — Le produit de convolution de deux lois discr` etes a
´ et´ e ´ etudi´ e au chap. 8, § 3. Nous traitons ici le cas des mesures de probabilit´ e
quelconques sur la droite.
D´ efinition. — Soient P et Q deux mesures de probabilit´ e sur la droite,
dont les fonctions de r´ epartition correspondantes sont F et G. On appelle
produit de convolution de P et Q (ou de F et G), la mesure de probabilit´ e,
not´ ee P ∗ Q, dont la fonction de r´ epartition, not´ ee F ∗ G, est donn´ ee par
(6.1)
H(z) = (F ∗ G)(z) =
F(z − y) dG(y) =
G(z − x) dF(x).
On v´ erifie que H est bien une fonction de r´ epartition. Que les deux termes
de droite de (6.1) soient ´ egaux r´ esulte de la proposition suivante.
Proposition 6.1. — Soient X et Y deux variables al´ eatoires r´ eelles,
de lois P X et P Y , de fonctions de r´ epartition F et G. Si X et Y sont
ind´ ependantes, la loi de la somme X + Y est le produit de convolution de
P X et P Y ; ou encore la loi P X+Y de X + Y est donn´ e par
(6.2)
P X+Y = P X ∗ P Y ;
ou enfin la fonction de r´ epartition H de X + Y est donn´ ee par
(6.3) H(z) = (F ∗ G)(z) =
F(z − y) dG(y) =
G(z − x) dF(x).
D´ emonstration. — D’apr` es le Th´ eor` eme 2.2, la loi du couple (X, Y )
est la mesure de probabilit´ e produit P X ⊗ P Y . Supposons que X et Y
sont d´ efinies sur le mˆ eme espace probabilis´ e (Ω, A, P) (en toute rigueur, il