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CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Proposition 4.4. — Si F est absolument continue, de densit´ e f , alors
F
(x) = f (x) en tout point x o` u f est continue.
D´ emonstration. — Prenons h = 0 et supposons f continue au point x. Le
nombre ε ´ etant donn´ e, on a, si |t − x| < η, l’encadrement f (x) − ε < f(t) <
f (x) + ε. Or
F(x + h) − F(h)
/h =
x+h
x
f (t)/h
dt, d’o` u pour |h| < η
l’encadrement f (x) − ε <
F(x + h) − F(x)
/h < f (x) + ε, qui exprime bien
que la d´ eriv´ ee F
(x) de F(x) est ´ egale ` a f (x).
Dans le cas particulier o` u X est ` a valeurs positives, on peut donner
une repr´ esentation de l’esp´ erance math´ ematique ` a l’aide de la fonction de
survie r(x) (cf. chap. 14, § 5. La loi exponentielle).
Th´ eor` eme 4.5. — Soit X une variable al´ eatoire `
a valeurs dans [0, +∞[,
absolument continue, de densit´ e f , de fonction de survie r(x) = P{X > x}.
Alors on a, dans la demi-droite achev´ ee [0, +∞],
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
xf (x) dx.
D´ emonstration. — En effet
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
+∞
x
f (t) dt
dx =
+∞
0
+∞
0
f (t)I {t>x} (t, x) dt
dx ;
soit d’apr` es le th´ eor` eme de Fubini
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
+∞
0
I {t>x} (t, x) dx
f (t) dt =
+∞
0
tf (t) dt.
Dans la d´ emonstration pr´ ec´ edente on a fait appel au th´ eor` eme de Fubini
pour les int´ egrales doubles, mais, en fait, il n’y a aucune difficult´ e ici puisque
la fonction `
a int´ egrer est positive.
Remarque. — Si X ≥ 0 et si E[X] est finie, alors E[X] admet la
repr´ esentation :
(4.3)
E[X] =
+∞
0
r(x) dx.
5. Les trois types de fonctions de r´ epartition. — Soit X une variable
al´ eatoire r´ eelle de fonction de r´ epartition F. On distingue tout d’abord deux
cas :
a) F est totalement discontinue, auquel cas l’ensemble des points de
discontinuit´ e de F est fini ou d´ enombrable, et la variable al´ eatoire X est
discr` ete.
b) F est continue, auquel cas la variable al´ eatoire X est diffuse.
Parmi les variables al´ eatoires diffuses, nous avons rencontr´ e les variables
al´ eatoires absolument continues. On montre que ces derni` eres ne constituent
CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Proposition 4.4. — Si F est absolument continue, de densit´ e f , alors
F
(x) = f (x) en tout point x o` u f est continue.
D´ emonstration. — Prenons h = 0 et supposons f continue au point x. Le
nombre ε ´ etant donn´ e, on a, si |t − x| < η, l’encadrement f (x) − ε < f(t) <
f (x) + ε. Or
F(x + h) − F(h)
/h =
x+h
x
f (t)/h
dt, d’o` u pour |h| < η
l’encadrement f (x) − ε <
F(x + h) − F(x)
/h < f (x) + ε, qui exprime bien
que la d´ eriv´ ee F
(x) de F(x) est ´ egale ` a f (x).
Dans le cas particulier o` u X est ` a valeurs positives, on peut donner
une repr´ esentation de l’esp´ erance math´ ematique ` a l’aide de la fonction de
survie r(x) (cf. chap. 14, § 5. La loi exponentielle).
Th´ eor` eme 4.5. — Soit X une variable al´ eatoire `
a valeurs dans [0, +∞[,
absolument continue, de densit´ e f , de fonction de survie r(x) = P{X > x}.
Alors on a, dans la demi-droite achev´ ee [0, +∞],
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
xf (x) dx.
D´ emonstration. — En effet
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
+∞
x
f (t) dt
dx =
+∞
0
+∞
0
f (t)I {t>x} (t, x) dt
dx ;
soit d’apr` es le th´ eor` eme de Fubini
+∞
0
r(x) dx =
+∞
0
+∞
0
I {t>x} (t, x) dx
f (t) dt =
+∞
0
tf (t) dt.
Dans la d´ emonstration pr´ ec´ edente on a fait appel au th´ eor` eme de Fubini
pour les int´ egrales doubles, mais, en fait, il n’y a aucune difficult´ e ici puisque
la fonction `
a int´ egrer est positive.
Remarque. — Si X ≥ 0 et si E[X] est finie, alors E[X] admet la
repr´ esentation :
(4.3)
E[X] =
+∞
0
r(x) dx.
5. Les trois types de fonctions de r´ epartition. — Soit X une variable
al´ eatoire r´ eelle de fonction de r´ epartition F. On distingue tout d’abord deux
cas :
a) F est totalement discontinue, auquel cas l’ensemble des points de
discontinuit´ e de F est fini ou d´ enombrable, et la variable al´ eatoire X est
discr` ete.
b) F est continue, auquel cas la variable al´ eatoire X est diffuse.
Parmi les variables al´ eatoires diffuses, nous avons rencontr´ e les variables
al´ eatoires absolument continues. On montre que ces derni` eres ne constituent