4. LOIS DE PROBABILIT ´
E ABSOLUMENT CONTINUES
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dans le sens suivant : si l’une de ces int´ egrales existe, alors l’autre existe
aussi et elles sont ´ egales.
D´ emonstration. — V´ erifions d’abord (4.1) pour les variables al´ eatoires
simples positives. Soit g =
k x k I A k une telle fonction. On a :
g dF =
k
x k F{A k } =
k
x k
A k
f dλ =
k
x k
I A k f dλ =
k
x k I A k
f dλ =
g f dλ.
Si (g n ) est une suite croissante de variables al´ eatoires simples positives
tendant vers g, alors (g n f ) est une suite croissante de variables al´ eatoires
positives tendant vers gf . D’o` u
g dF = lim n
g n dF = lim n
g n f dλ =
g f dλ, d’apr` es le th´ eor` eme de Beppo-Levi.
Enfin, si g est quelconque, on a :
g
+ dF =
g
+ f dλ et
g
− dF =
g
− f dλ. L’identit´ e (4.1) est encore vraie par d´ efinition de l’int´ egrale.
Remarque. — Si F est une fonction de r´ epartition absolument continue,
de densit´ e f et si F est la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire
r´ eelle X, on dira aussi que f est la densit´ e de probabilit´ e de X. On utilisera
aussi les notations F X , f X , en homog´ en´ eit´ e avec la notation P X pour la loi
de probabilit´ e de X.
Dans l’identit´ e (4.1), prenons pour F la loi de r´ epartition F X d’une
variable al´ eatoire X de densit´ e f X . Puisque par convention d’´ ecriture, on
peut remplacer dF X par dP X , l’identit´ e (4.1) se r´ ecrit :
g(x) dP X (x) =
g(x) f X (x) dx.
En prenant g(x) = x pour tout x, on obtient la formule importante :
(4.2)
E[X] =
x dP X (x) =
x f X (x) dx,
qui permet de calculer les esp´ erances math´ ematiques des variables al´ eatoires
r´ eelles admettant des densit´ es.
Proposition 4.3. — Si F est absolument continue, alors F est continue
sur toute la droite et F{{x}} = 0 pour tout x. Si de plus F est la fonction
de r´ epartition d’une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur un espace probabilis´ e
(Ω, A, P), alors P{X = x} = 0 pour tout x. [La variable al´ eatoire X est donc
diffuse.]
D´ emonstration. — Soit f la densit´ e de F. On a F{{x}} = F(x) − F(x − 0)
pour tout x. Or F{{x}} =
x
x
f (u) du = 0, d’o` u F(x − 0) = F(x) et F est
continue. Dans les hypoth` eses de l’´ enonc´ e, on a P{X = x} = P X {x} =
F{{x}} = 0.
L’ensemble D X = {x : P{X = x} > 0} a ´ et´ e introduit au chap. 5, § 6. Il
r´ esulte de la proposition pr´ ec´ edente que D X est vide, si X est absolument
continue (voir aussi chap. 5, Proposition 6.2). On d´ efinit le support S X d’une
variable al´ eatoire r´ eelle X comme ´ etant l’ensemble D X lui-mˆ eme, lorsque X
est discr` ete, et comme ´ etant l’ensemble S X = {x : f (x) > 0}, lorsque X est
absolument continue de densit´ e f .
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dans le sens suivant : si l’une de ces int´ egrales existe, alors l’autre existe
aussi et elles sont ´ egales.
D´ emonstration. — V´ erifions d’abord (4.1) pour les variables al´ eatoires
simples positives. Soit g =
k x k I A k une telle fonction. On a :
g dF =
k
x k F{A k } =
k
x k
A k
f dλ =
k
x k
I A k f dλ =
k
x k I A k
f dλ =
g f dλ.
Si (g n ) est une suite croissante de variables al´ eatoires simples positives
tendant vers g, alors (g n f ) est une suite croissante de variables al´ eatoires
positives tendant vers gf . D’o` u
g dF = lim n
g n dF = lim n
g n f dλ =
g f dλ, d’apr` es le th´ eor` eme de Beppo-Levi.
Enfin, si g est quelconque, on a :
g
+ dF =
g
+ f dλ et
g
− dF =
g
− f dλ. L’identit´ e (4.1) est encore vraie par d´ efinition de l’int´ egrale.
Remarque. — Si F est une fonction de r´ epartition absolument continue,
de densit´ e f et si F est la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire
r´ eelle X, on dira aussi que f est la densit´ e de probabilit´ e de X. On utilisera
aussi les notations F X , f X , en homog´ en´ eit´ e avec la notation P X pour la loi
de probabilit´ e de X.
Dans l’identit´ e (4.1), prenons pour F la loi de r´ epartition F X d’une
variable al´ eatoire X de densit´ e f X . Puisque par convention d’´ ecriture, on
peut remplacer dF X par dP X , l’identit´ e (4.1) se r´ ecrit :
g(x) dP X (x) =
g(x) f X (x) dx.
En prenant g(x) = x pour tout x, on obtient la formule importante :
(4.2)
E[X] =
x dP X (x) =
x f X (x) dx,
qui permet de calculer les esp´ erances math´ ematiques des variables al´ eatoires
r´ eelles admettant des densit´ es.
Proposition 4.3. — Si F est absolument continue, alors F est continue
sur toute la droite et F{{x}} = 0 pour tout x. Si de plus F est la fonction
de r´ epartition d’une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur un espace probabilis´ e
(Ω, A, P), alors P{X = x} = 0 pour tout x. [La variable al´ eatoire X est donc
diffuse.]
D´ emonstration. — Soit f la densit´ e de F. On a F{{x}} = F(x) − F(x − 0)
pour tout x. Or F{{x}} =
x
x
f (u) du = 0, d’o` u F(x − 0) = F(x) et F est
continue. Dans les hypoth` eses de l’´ enonc´ e, on a P{X = x} = P X {x} =
F{{x}} = 0.
L’ensemble D X = {x : P{X = x} > 0} a ´ et´ e introduit au chap. 5, § 6. Il
r´ esulte de la proposition pr´ ec´ edente que D X est vide, si X est absolument
continue (voir aussi chap. 5, Proposition 6.2). On d´ efinit le support S X d’une
variable al´ eatoire r´ eelle X comme ´ etant l’ensemble D X lui-mˆ eme, lorsque X
est discr` ete, et comme ´ etant l’ensemble S X = {x : f (x) > 0}, lorsque X est
absolument continue de densit´ e f .