134
CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
4. Lois de probabilit´ e absolument continues. — Les fonctions f
r´ eelles, positives, de variable r´ eelle, qui sont int´ egrables au sens de Lebesgue
et d’int´ egrale ´ egale ` a 1 permettent de d´ efinir une classe importante de mesures
de probabilit´ e sur la droite, comme le montre la proposition suivante.
Proposition 4.1. — Soit f une fonction r´ eelle positive, de variable
r´ eelle, int´ egrable au sens de Lebesgue et telle que
R
f dλ =
+∞
−∞
f (x) dx = 1.
Alors la fonction P : B →
B
f dλ est une mesure de probabilit´ e sur (R, B
1 ).
D´ emonstration. — D’abord P ≥ 0 et P(R) =
R
f dλ = 1. Ensuite
P(B) =
B
f dλ ≤
R
f dλ = 1.
D’autre part, consid´ erons une suite (B n ) d’ensembles bor´ eliens de la
droite, disjoints deux `
a deux et de r´ eunion B. On a alors f.I B =
n f.I B n ,
d’o` u P(B) =
f.I B dλ =
n f.I B n dλ =
n
f.I B n dλ =
n P(B n ),
d’apr` es le th´ eor` eme monotone de Beppo-Levi. Ainsi P est bien une mesure
de probabilit´ e.
Les mesures de probabilit´ e auxquelles on peut faire correspondre une
fonction f ayant les propri´ et´ es de la proposition pr´ ec´ edente sont pr´ ecis´ ement
les lois absolument continues, que l’on va maintenant ´ etudier.
´
Etant donn´ e une fonction de r´ epartition F sur la droite, on sait qu’il
existe une et une seule mesure de probabilit´ e, not´ ee F{·} sur (R, B
1 ) telle
que F{ ]a, b] } = F(b) − F(a), pour tout intervalle born´ e ]a, b]. La compl´ et´ ee
de cette mesure F s’appelle la mesure de Stieltjes-Lebesgue induite par F. Si
P est une mesure de probabilit´ e sur (R, B
1 ), la compl´ et´ ee de P est identique `
a
la mesure de Stieltjes-Lebesgue induite par la fonction F : x → P{ ] − ∞, x] }.
Ainsi l’int´ egrale d’une variable al´ eatoire r´ eelle g, de variable r´ eelle, sera not´ ee
indiff´ eremment
g dP ou
g dF, ou encore
g(x) dF(x),
et on l’appellera int´ egrale de Stieltjes-Lebesgue de g par rapport `
a F.
D´ efinition. — On dit que F est absolument continue, s’il existe une
fonction r´ eelle f , de variable r´ eelle, telle que
(i) f ≥ 0 ;
(ii) f est int´ egrable au sens de Lebesgue sur R et
f (x) dx = 1 ;
(iii) F{B}
=
B
dF(x)
=
B
f (x) dx
=
B
f dλ
pour tout B ∈ B
1 .
La fonction f est appel´ ee densit´ e de la fonction de r´ epartition F.
Proposition 4.2. — Soit F une fonction de r´ epartition absolument
continue, de densit´ e f . Alors pour toute variable al´ eatoire g : (R, B
1 ) →
(R, B
1 ), on a l’identit´ e
(4.1)
g(x) dF(x)
=
g dF
=
g(x) f (x) dx
=
g f dλ
,