3. INT ´
EGRALE DE LEBESGUE
133
En fait, la mesure de Lebesgue est d´ efinie comme la compl´ et´ ee de λ. La
pr´ ec´ edente d´ efinition suffira pour les applications qui viennent.
Soit maintenant X une variable al´ eatoire r´ eelle, d´ efinie sur (R, B
1 ). On
d´ efinit l’int´ egrale de Lebesgue de X comme l’int´ egrale de X par rapport `
a la
mesure λ. On la note
(3.2)
X dλ ou
X(x) dx.
L’int´ egrale de X sur un ensemble bor´ elien A de la droite est d´ efinie comme
l’int´ egrale de I A .X. On la note
A
X dλ =
I A .X dλ =
A
X(x) dx =
I A (x) X(x) dx.
En particulier, lorsque A est un intervalle born´ e [a, b], [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[,
l’int´ egrale de X sur A est not´ ee
(3.3)
b
a
X dλ =
b
a
X(x) dx,
toutes les int´ egrales de X sur chacun de ces intervalles, si elles existent, ´ etant
´ egales.
On reconnaˆ ıt dans (3.3) l’expression formelle usuelle de l’int´ egrale de
Riemann de la fonction X sur l’intervalle [a, b]. Nous consignons dans les
deux propositions suivantes, donn´ ees sans d´ emonstration, des conditions
permettant de comparer int´ egrale de Lebesgue et int´ egrale de Riemann.
Proposition 3.1. — Soit X une fonction r´ eelle, mesurable, born´ ee,
d´ efinie sur un intervalle born´ e [a, b]. Si X est int´ egrable au sens de Riemann,
alors X est int´ egrable au sens de Lebesgue sur [a, b] et l’int´ egrale de Riemann
de X est ´ egale `
a l’int´ egrale de Lebesgue de X sur [a, b]. (Pour les deux
int´ egrales, on retrouve l’expression famili` ere (3.3).)
On rappelle que si X est une fonction r´ eelle, d´ efinie sur la droite et
int´ egrable au sens de Riemann sur tout intervalle born´ e [a, b], son int´ egrale
impropre de Riemann sur R est d´ efinie par
(3.4)
+∞
−∞
X(x) dx = lim
a→−∞
b→+∞
b
a
X(x) dx,
si la limite existe et est finie.
Proposition 3.2. — Soit X une fonction r´ eelle, mesurable, d´ efinie sur
la droite r´ eelle. Si l’int´ egrale impropre de Riemann de |X| existe et est finie,
alors X est int´ egrable au sens de Lebesgue et l’int´ egrale de Lebesgue de X
sur R est ´ egale `
a l’int´ egrale impropre de Riemann de X sur R :
R
X(x) dx =
+∞
−∞
X(x) dx.
EGRALE DE LEBESGUE
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En fait, la mesure de Lebesgue est d´ efinie comme la compl´ et´ ee de λ. La
pr´ ec´ edente d´ efinition suffira pour les applications qui viennent.
Soit maintenant X une variable al´ eatoire r´ eelle, d´ efinie sur (R, B
1 ). On
d´ efinit l’int´ egrale de Lebesgue de X comme l’int´ egrale de X par rapport `
a la
mesure λ. On la note
(3.2)
X dλ ou
X(x) dx.
L’int´ egrale de X sur un ensemble bor´ elien A de la droite est d´ efinie comme
l’int´ egrale de I A .X. On la note
A
X dλ =
I A .X dλ =
A
X(x) dx =
I A (x) X(x) dx.
En particulier, lorsque A est un intervalle born´ e [a, b], [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[,
l’int´ egrale de X sur A est not´ ee
(3.3)
b
a
X dλ =
b
a
X(x) dx,
toutes les int´ egrales de X sur chacun de ces intervalles, si elles existent, ´ etant
´ egales.
On reconnaˆ ıt dans (3.3) l’expression formelle usuelle de l’int´ egrale de
Riemann de la fonction X sur l’intervalle [a, b]. Nous consignons dans les
deux propositions suivantes, donn´ ees sans d´ emonstration, des conditions
permettant de comparer int´ egrale de Lebesgue et int´ egrale de Riemann.
Proposition 3.1. — Soit X une fonction r´ eelle, mesurable, born´ ee,
d´ efinie sur un intervalle born´ e [a, b]. Si X est int´ egrable au sens de Riemann,
alors X est int´ egrable au sens de Lebesgue sur [a, b] et l’int´ egrale de Riemann
de X est ´ egale `
a l’int´ egrale de Lebesgue de X sur [a, b]. (Pour les deux
int´ egrales, on retrouve l’expression famili` ere (3.3).)
On rappelle que si X est une fonction r´ eelle, d´ efinie sur la droite et
int´ egrable au sens de Riemann sur tout intervalle born´ e [a, b], son int´ egrale
impropre de Riemann sur R est d´ efinie par
(3.4)
+∞
−∞
X(x) dx = lim
a→−∞
b→+∞
b
a
X(x) dx,
si la limite existe et est finie.
Proposition 3.2. — Soit X une fonction r´ eelle, mesurable, d´ efinie sur
la droite r´ eelle. Si l’int´ egrale impropre de Riemann de |X| existe et est finie,
alors X est int´ egrable au sens de Lebesgue et l’int´ egrale de Lebesgue de X
sur R est ´ egale `
a l’int´ egrale impropre de Riemann de X sur R :
R
X(x) dx =
+∞
−∞
X(x) dx.