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CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Th´ eor` eme 2.2. — Soient X 1 , X 2 deux variables al´ eatoires r´ eelles sur un
mˆ eme espace probabilis´ e de lois respectives P 1 , P 2 . Alors les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes :
a) la loi du couple (X 1 , X 2 ) est la mesure de probabilit´ e produit P =
P 1 ⊗ P 2 ;
b) les variables al´ eatoires r´ eelles X 1 , X 2 sont ind´ ependantes.
Th´ eor` eme 2.3 (Th´ eor` eme de Fubini, cf. Revuz [12], p. 171). — Soient
P 1 , P 2 deux mesures de probabilit´ e sur (R, B
1 ), P = P 1 ⊗ P 2 le produit
des deux mesures et g une fonction mesurable g : (R
2 , B
2 ) → (R, B
1 ) telle
que
g dP existe (i.e. ou bien g ≥ 0, ou bien
|g| dP < ∞). Alors h(x 2 ) =
R
g(x 1 , x 2 ) dP 1 (x 1 ) existe pour P 2 -presque tout x 2 ; de plus,
R
h(x 2 ) dP 2 (x 2 )
existe et est ´ egal `
a
R
g dP ; ou encore
(2.1)
R 2
g(x 1 , x 2 ) dP(x 1 , x 2 ) =
R
dP 2 (x 2 )
R
g(x 1 , x 2 ) dP 1 (x 1 )
.
Les mˆ emes affirmations sont vraies en ´ echangeant les rˆ oles des indices 1 et 2.
Dans l’identit´ e (2.1) le membre de gauche est l’int´ egrale de la fonction
g de deux variables r´ eelles par rapport `
a la mesure de Stieltjes-Lebesgue
P = P 1 ⊗ P 2 sur (R
2 , B
2 ) (cf. chap. 10, § 4).
Cas particulier. — Si g est une fonction positive, alors l’identit´ e (2.1)
est toujours vraie (dans [0, +∞]).
Application. — Soient X 1 , X 2 deux variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes admettant des esp´ erances math´ ematiques. Alors le produit X 1 X 2
admet une esp´ erance math´ ematique et l’on a :
E[X 1 X 2 ] = E[X 1 ] E[X 2 ].
D´ emonstration. — Il suffit d’appliquer le th´ eor` eme de Fubini en prenant
pour P 1 , P 2 les lois de X 1 , X 2 et pour P = P 1 ⊗ P 2 la loi du couple
(X 1 , X 2 ).
Certaines int´ egrales par rapport `
a des mesures de Stieltjes-Lebesgue se
calculent directement comme des int´ egrales ordinaires. Nous nous proposons,
dans le reste de ce chapitre, de donner les indications n´ ecessaires pour arriver
` a de tels calculs.
3. Int´ egrale de Lebesgue. — On a appel´ e mesure de Lebesgue sur la
droite r´ eelle (cf. chap. 10, § 2) l’unique mesure, not´ ee λ
1 ou λ, sur (R, B
1 ),
qui est telle que pour tout intervalle semi-ouvert ]a, b], on ait
(3.1)
λ{ ]a, b] } = b − a.
Comme l’application identique sur la droite qui induit la mesure de Lebesgue
est ´ evidemment continue, on a encore
λ{ [a, b] } = λ{ [a, b[ } = λ{ ]a, b[ } = b − a.
CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Th´ eor` eme 2.2. — Soient X 1 , X 2 deux variables al´ eatoires r´ eelles sur un
mˆ eme espace probabilis´ e de lois respectives P 1 , P 2 . Alors les deux propri´ et´ es
suivantes sont ´ equivalentes :
a) la loi du couple (X 1 , X 2 ) est la mesure de probabilit´ e produit P =
P 1 ⊗ P 2 ;
b) les variables al´ eatoires r´ eelles X 1 , X 2 sont ind´ ependantes.
Th´ eor` eme 2.3 (Th´ eor` eme de Fubini, cf. Revuz [12], p. 171). — Soient
P 1 , P 2 deux mesures de probabilit´ e sur (R, B
1 ), P = P 1 ⊗ P 2 le produit
des deux mesures et g une fonction mesurable g : (R
2 , B
2 ) → (R, B
1 ) telle
que
g dP existe (i.e. ou bien g ≥ 0, ou bien
|g| dP < ∞). Alors h(x 2 ) =
R
g(x 1 , x 2 ) dP 1 (x 1 ) existe pour P 2 -presque tout x 2 ; de plus,
R
h(x 2 ) dP 2 (x 2 )
existe et est ´ egal `
a
R
g dP ; ou encore
(2.1)
R 2
g(x 1 , x 2 ) dP(x 1 , x 2 ) =
R
dP 2 (x 2 )
R
g(x 1 , x 2 ) dP 1 (x 1 )
.
Les mˆ emes affirmations sont vraies en ´ echangeant les rˆ oles des indices 1 et 2.
Dans l’identit´ e (2.1) le membre de gauche est l’int´ egrale de la fonction
g de deux variables r´ eelles par rapport `
a la mesure de Stieltjes-Lebesgue
P = P 1 ⊗ P 2 sur (R
2 , B
2 ) (cf. chap. 10, § 4).
Cas particulier. — Si g est une fonction positive, alors l’identit´ e (2.1)
est toujours vraie (dans [0, +∞]).
Application. — Soient X 1 , X 2 deux variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes admettant des esp´ erances math´ ematiques. Alors le produit X 1 X 2
admet une esp´ erance math´ ematique et l’on a :
E[X 1 X 2 ] = E[X 1 ] E[X 2 ].
D´ emonstration. — Il suffit d’appliquer le th´ eor` eme de Fubini en prenant
pour P 1 , P 2 les lois de X 1 , X 2 et pour P = P 1 ⊗ P 2 la loi du couple
(X 1 , X 2 ).
Certaines int´ egrales par rapport `
a des mesures de Stieltjes-Lebesgue se
calculent directement comme des int´ egrales ordinaires. Nous nous proposons,
dans le reste de ce chapitre, de donner les indications n´ ecessaires pour arriver
` a de tels calculs.
3. Int´ egrale de Lebesgue. — On a appel´ e mesure de Lebesgue sur la
droite r´ eelle (cf. chap. 10, § 2) l’unique mesure, not´ ee λ
1 ou λ, sur (R, B
1 ),
qui est telle que pour tout intervalle semi-ouvert ]a, b], on ait
(3.1)
λ{ ]a, b] } = b − a.
Comme l’application identique sur la droite qui induit la mesure de Lebesgue
est ´ evidemment continue, on a encore
λ{ [a, b] } = λ{ [a, b[ } = λ{ ]a, b[ } = b − a.