2. MESURES DE PROBABILIT ´
E PRODUIT
131
Si maintenant (g n ) est une suite croissante de variables al´ eatoires simples
positives telles que g = sup n g n , on a aussi g ◦ X = sup n g n ◦ X. De plus,
g n ◦ X est une variable al´ eatoire simple positive, puisque g n l’est. D’o` u
(g ◦ X) dP = sup n
(g n ◦ X) dP = sup n
g n dP X =
g dP X .
Enfin, si g est une variable al´ eatoire quelconque, on a g
+
◦ X = (g ◦ X)
+
et g
−
◦ X = (g ◦ X)
− . Si
(g ◦ X) dP est finie, alors les deux int´ egrales
(g ◦ X)
+ dP et
(g ◦ X)
− dP sont aussi finies. On a, de plus,
(g ◦ X) dP =
(g
+
◦ X) dP −
(g
−
◦ X) dP =
g
+ dP X −
g
− dP X =
g dP X . D’o` u
g dP X est finie et ´ egale ` a
(g ◦ X) dP X .
De mˆ eme, si
g dP X est finie, on d´ emontre, par le mˆ eme raisonnement,
que
(g ◦ X) dP est finie et lui est ´ egale.
Exemple 1. — Prenons g = Id R , soit g(x) = x. Alors, si l’une des
expressions
X dP,
Id R dP X =
x dP X (x)
existe, il en est de mˆ eme
de l’autre et l’on a :
(1.3)
E[X] =
X dP =
x dP X (x).
Exemple 2. — Soit X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) une variable al´ eatoire discr` ete
de loi P X =
i α i ε x i (α i > 0,
i α i = 1). Si X ≥ 0, ou si
i α i |x i | < ∞,
on a toujours les relations (1.3). Or le dernier membre de (1.3) est l’int´ egrale
de l’application identique de (R, B
1 , P X ) dans (R, B
1 ). D’apr` es l’Exemple 2
du paragraphe 7, chap. 10, elle vaut
i α i x i . On retrouve la d´ efinition
´ el´ ementaire d’une variable discr` ete :
E[X] =
i
α i x i .
2. Mesures de probabilit´ e produit et th´ eor` eme de Fubini. — Dans
ce paragraphe, nous donnons, sans d´ emonstration, quelques r´ esultats sur les
produits de mesures de probabilit´ e.
Th´ eor` eme 2.1. — Soient P 1 et P 2 deux mesures de probabilit´ e sur
(R, B
1 ). Alors il existe une mesure de probabilit´ e et une seule sur (R
2 , B
2 ),
not´ ee P = P 1 ⊗ P 2 v´ erifiant pour tout B 1 , B 2 ∈ B
1 l’identit´ e
P(B 1 × B 2 ) = P 1 (B 1 )P 2 (B 2 ).
La mesure P est appel´ ee le produit des mesures P 1 et P 2 ; les mesures
P 1 et P 2 sont appel´ ees les mesures marginales de la mesure P. La mesure
produit est d’une importance capitale dans l’´ etude des variables al´ eatoires
r´ eelles ind´ ependantes, comme on le voit dans le th´ eor` eme suivant.
E PRODUIT
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Si maintenant (g n ) est une suite croissante de variables al´ eatoires simples
positives telles que g = sup n g n , on a aussi g ◦ X = sup n g n ◦ X. De plus,
g n ◦ X est une variable al´ eatoire simple positive, puisque g n l’est. D’o` u
(g ◦ X) dP = sup n
(g n ◦ X) dP = sup n
g n dP X =
g dP X .
Enfin, si g est une variable al´ eatoire quelconque, on a g
+
◦ X = (g ◦ X)
+
et g
−
◦ X = (g ◦ X)
− . Si
(g ◦ X) dP est finie, alors les deux int´ egrales
(g ◦ X)
+ dP et
(g ◦ X)
− dP sont aussi finies. On a, de plus,
(g ◦ X) dP =
(g
+
◦ X) dP −
(g
−
◦ X) dP =
g
+ dP X −
g
− dP X =
g dP X . D’o` u
g dP X est finie et ´ egale ` a
(g ◦ X) dP X .
De mˆ eme, si
g dP X est finie, on d´ emontre, par le mˆ eme raisonnement,
que
(g ◦ X) dP est finie et lui est ´ egale.
Exemple 1. — Prenons g = Id R , soit g(x) = x. Alors, si l’une des
expressions
X dP,
Id R dP X =
x dP X (x)
existe, il en est de mˆ eme
de l’autre et l’on a :
(1.3)
E[X] =
X dP =
x dP X (x).
Exemple 2. — Soit X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) une variable al´ eatoire discr` ete
de loi P X =
i α i ε x i (α i > 0,
i α i = 1). Si X ≥ 0, ou si
i α i |x i | < ∞,
on a toujours les relations (1.3). Or le dernier membre de (1.3) est l’int´ egrale
de l’application identique de (R, B
1 , P X ) dans (R, B
1 ). D’apr` es l’Exemple 2
du paragraphe 7, chap. 10, elle vaut
i α i x i . On retrouve la d´ efinition
´ el´ ementaire d’une variable discr` ete :
E[X] =
i
α i x i .
2. Mesures de probabilit´ e produit et th´ eor` eme de Fubini. — Dans
ce paragraphe, nous donnons, sans d´ emonstration, quelques r´ esultats sur les
produits de mesures de probabilit´ e.
Th´ eor` eme 2.1. — Soient P 1 et P 2 deux mesures de probabilit´ e sur
(R, B
1 ). Alors il existe une mesure de probabilit´ e et une seule sur (R
2 , B
2 ),
not´ ee P = P 1 ⊗ P 2 v´ erifiant pour tout B 1 , B 2 ∈ B
1 l’identit´ e
P(B 1 × B 2 ) = P 1 (B 1 )P 2 (B 2 ).
La mesure P est appel´ ee le produit des mesures P 1 et P 2 ; les mesures
P 1 et P 2 sont appel´ ees les mesures marginales de la mesure P. La mesure
produit est d’une importance capitale dans l’´ etude des variables al´ eatoires
r´ eelles ind´ ependantes, comme on le voit dans le th´ eor` eme suivant.