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CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Comme pour les variables al´ eatoires discr` etes, on peut donc d´ efinir les
notions de moment, de variance, . . . Lorsque E[X] = 0, on dit que X est
centr´ ee. Si E[X] est finie, on peut centrer la variable al´ eatoire en consid´ erant
X − E[X]. Le moment d’ordre k (k > 0) est le nombre, s’il existe, E[X
k ].
Si E[X
2 ] est fini, la variance de X est d´ efinie par E[ (X − E[X] )
2 ]. Enfin, le
moment absolu d’ordre k est le nombre E[ |X|
k ].
L’un des th´ eor` emes fondamentaux sur l’int´ egration des variables al´ eatoires
r´ eelles et tout particuli` erement sur leur calcul effectif est le th´ eor` eme dit
du transfert que nous ´ enon¸ cons maintenant et dont nous avions donn´ e une
version discr` ete au chap. 8, Th´ eor` eme 4.1.
Th´ eor` eme 1.1 (th´ eor` eme du transfert). — Soient (Ω, A, P) un espace
probabilis´ e, X une variable al´ eatoire d´ efinie sur cet espace, `
a valeurs r´ eelles,
de loi P X et g une fonction mesurable r´ eelle. On a donc le diagramme :
(Ω, A, P)
E (R, B
1 , P X )
X
c
g
s
g ◦ X
(R, B
1 )
Alors, si l’une des expressions
Ω
(g ◦ X) dP,
R
g dP X existe, il en est de
mˆ eme de l’autre et l’on a :
(1.2)
Ω
(g ◦ X) dP =
R
g dP X
=
R
g(x) dP X (x)
.
Les deux termes de cette identit´ e sont deux repr´ esentations de E[g ◦ X].
Le premier membre de l’identit´ e (1.2) est l’int´ egrale de la variable al´ eatoire
g ◦ X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) par rapport `
a la mesure P ; le second membre
est l’int´ egrale de la variable al´ eatoire g : (R, B
1 , P X ) → (R, B
1 ) par rapport
` a la mesure (de Stieltjes-Lebesgue) P X sur la droite r´ eelle. Le th´ eor` eme de
transfert permet ainsi de transf´ erer le calcul d’une int´ egrale sur un espace
probabilis´ e quelconque (Ω, A, P) en le calcul d’une int´ egrale sur (R, B
1 , P X ).
D´ emonstration. — Pour d´ emontrer le th´ eor` eme de transfert, on le v´ erifie
successivement pour les variables al´ eatoires simples positives, puis pour
celles qui sont positives, puis pour les variables al´ eatoires quelconques. Soit
g =
i x i I A i une variable al´ eatoire simple positive. On a, pour ω ∈ Ω,
(g ◦ X)(ω) = g(X(ω)) =
i
x i I A i (X(ω)) =
i
x i I X −1 (A i ) (ω),
d’o` u
(g ◦ X) dP =
i
x i P(X
−1 (A i )) =
i
x i P X (A i ) =
g dP X .
CHAPITRE 11 : LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Comme pour les variables al´ eatoires discr` etes, on peut donc d´ efinir les
notions de moment, de variance, . . . Lorsque E[X] = 0, on dit que X est
centr´ ee. Si E[X] est finie, on peut centrer la variable al´ eatoire en consid´ erant
X − E[X]. Le moment d’ordre k (k > 0) est le nombre, s’il existe, E[X
k ].
Si E[X
2 ] est fini, la variance de X est d´ efinie par E[ (X − E[X] )
2 ]. Enfin, le
moment absolu d’ordre k est le nombre E[ |X|
k ].
L’un des th´ eor` emes fondamentaux sur l’int´ egration des variables al´ eatoires
r´ eelles et tout particuli` erement sur leur calcul effectif est le th´ eor` eme dit
du transfert que nous ´ enon¸ cons maintenant et dont nous avions donn´ e une
version discr` ete au chap. 8, Th´ eor` eme 4.1.
Th´ eor` eme 1.1 (th´ eor` eme du transfert). — Soient (Ω, A, P) un espace
probabilis´ e, X une variable al´ eatoire d´ efinie sur cet espace, `
a valeurs r´ eelles,
de loi P X et g une fonction mesurable r´ eelle. On a donc le diagramme :
(Ω, A, P)
E (R, B
1 , P X )
X
c
g
s
g ◦ X
(R, B
1 )
Alors, si l’une des expressions
Ω
(g ◦ X) dP,
R
g dP X existe, il en est de
mˆ eme de l’autre et l’on a :
(1.2)
Ω
(g ◦ X) dP =
R
g dP X
=
R
g(x) dP X (x)
.
Les deux termes de cette identit´ e sont deux repr´ esentations de E[g ◦ X].
Le premier membre de l’identit´ e (1.2) est l’int´ egrale de la variable al´ eatoire
g ◦ X : (Ω, A, P) → (R, B
1 ) par rapport `
a la mesure P ; le second membre
est l’int´ egrale de la variable al´ eatoire g : (R, B
1 , P X ) → (R, B
1 ) par rapport
` a la mesure (de Stieltjes-Lebesgue) P X sur la droite r´ eelle. Le th´ eor` eme de
transfert permet ainsi de transf´ erer le calcul d’une int´ egrale sur un espace
probabilis´ e quelconque (Ω, A, P) en le calcul d’une int´ egrale sur (R, B
1 , P X ).
D´ emonstration. — Pour d´ emontrer le th´ eor` eme de transfert, on le v´ erifie
successivement pour les variables al´ eatoires simples positives, puis pour
celles qui sont positives, puis pour les variables al´ eatoires quelconques. Soit
g =
i x i I A i une variable al´ eatoire simple positive. On a, pour ω ∈ Ω,
(g ◦ X)(ω) = g(X(ω)) =
i
x i I A i (X(ω)) =
i
x i I X −1 (A i ) (ω),
d’o` u
(g ◦ X) dP =
i
x i P(X
−1 (A i )) =
i
x i P X (A i ) =
g dP X .