CHAPITRE 11
ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE.
LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Dans ce chapitre, nous donnons la d´ efinition de l’esp´ erance math´ ematique
d’une variable al´ eatoire r´ eelle par rapport `
a une mesure de probabilit´ e
quelconque et faisons le rapprochement avec la d´ efinition de l’esp´ erance
math´ ematique qui avait ´ et´ e donn´ ee pour les variables al´ eatoires discr` etes.
La th´ eorie de l’int´ egrale d´ evelopp´ ee dans le chapitre pr´ ec´ edent fournit tous
les outils n´ ecessaires. Comme nous le verrons, il y a essentiellement deux
classes de variables al´ eatoires, les variables al´ eatoires discr` etes et les variables
al´ eatoires absolument continues. Il nous a paru naturel d’´ enoncer dans ce
mˆ eme chapitre les techniques de calcul de l’esp´ erance math´ ematique lorsque
les variables al´ eatoires appartiennent `
a cette seconde classe.
1. Esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire. — Soient
(Ω, A, P) un espace probabilis´ e et X une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur
cet espace. Suivant la th´ eorie d´ evelopp´ ee dans le chapitre pr´ ec´ edent, on peut
consid´ erer l’int´ egrale de X par rapport `
a la mesure de probabilit´ e P.
D´ efinition. — Si X est positive ou si X est P-int´ egrable, on d´ esigne par
(1.1)
E[X] =
X dP
l’esp´ erance math´ ematique de X. Si l’on a E[X] ∈ R, on dit que X a une
esp´ erance math´ ematique finie.
Toutes les propri´ et´ es de l’int´ egrale ´ enonc´ ees dans le chapitre pr´ ec´ edent,
de lin´ earit´ e, de monotonie, d’int´ egrabilit´ e, de majoration, ainsi que les trois
th´ eor` emes de convergence restent valables. Il faut noter que les quatre
premi` eres s´ eries de propri´ et´ es avaient d´ ej` a ´ et´ e donn´ ees, presque mot pour
mot, pour les variables al´ eatoires discr` etes au chapitre 8.
Lorsque la mesure sous-jacente est une mesure de probabilit´ e, on pr´ ef` ere
parler de propri´ et´ e vraie P-presque sˆ urement, plutˆ ot que vraie P-presque
partout. Dans les chapitres suivants, on fera, en particulier, une ´ etude tr` es
approfondie de la convergence presque sˆ ure des suites de variables al´ eatoires
r´ eelles.
ESP ´
ERANCE MATH ´
EMATIQUE.
LOIS ABSOLUMENT CONTINUES
Dans ce chapitre, nous donnons la d´ efinition de l’esp´ erance math´ ematique
d’une variable al´ eatoire r´ eelle par rapport `
a une mesure de probabilit´ e
quelconque et faisons le rapprochement avec la d´ efinition de l’esp´ erance
math´ ematique qui avait ´ et´ e donn´ ee pour les variables al´ eatoires discr` etes.
La th´ eorie de l’int´ egrale d´ evelopp´ ee dans le chapitre pr´ ec´ edent fournit tous
les outils n´ ecessaires. Comme nous le verrons, il y a essentiellement deux
classes de variables al´ eatoires, les variables al´ eatoires discr` etes et les variables
al´ eatoires absolument continues. Il nous a paru naturel d’´ enoncer dans ce
mˆ eme chapitre les techniques de calcul de l’esp´ erance math´ ematique lorsque
les variables al´ eatoires appartiennent `
a cette seconde classe.
1. Esp´ erance math´ ematique d’une variable al´ eatoire. — Soient
(Ω, A, P) un espace probabilis´ e et X une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur
cet espace. Suivant la th´ eorie d´ evelopp´ ee dans le chapitre pr´ ec´ edent, on peut
consid´ erer l’int´ egrale de X par rapport `
a la mesure de probabilit´ e P.
D´ efinition. — Si X est positive ou si X est P-int´ egrable, on d´ esigne par
(1.1)
E[X] =
X dP
l’esp´ erance math´ ematique de X. Si l’on a E[X] ∈ R, on dit que X a une
esp´ erance math´ ematique finie.
Toutes les propri´ et´ es de l’int´ egrale ´ enonc´ ees dans le chapitre pr´ ec´ edent,
de lin´ earit´ e, de monotonie, d’int´ egrabilit´ e, de majoration, ainsi que les trois
th´ eor` emes de convergence restent valables. Il faut noter que les quatre
premi` eres s´ eries de propri´ et´ es avaient d´ ej` a ´ et´ e donn´ ees, presque mot pour
mot, pour les variables al´ eatoires discr` etes au chapitre 8.
Lorsque la mesure sous-jacente est une mesure de probabilit´ e, on pr´ ef` ere
parler de propri´ et´ e vraie P-presque sˆ urement, plutˆ ot que vraie P-presque
partout. Dans les chapitres suivants, on fera, en particulier, une ´ etude tr` es
approfondie de la convergence presque sˆ ure des suites de variables al´ eatoires
r´ eelles.