COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
127
2 (La tribu des ´ ev` enements observables). — Soit T = T(A) la tribu
engendr´ ee par A, dite des ´ ev` enements observables. C’est la plus petite tribu
rendant tous les π n (resp. X n ) (n ≥ 1) mesurables.
3. — On consid` ere, pour chaque n ≥ 1, une fonction r´ eelle p n d´ efinie sur
S
n , ayant les propri´ et´ es suivantes :
(i) p n ≥ 0 ;
(ii)
x∈S
p 1 (x) = 1 ;
(iii)
x∈S
p n+1 (x 1 , . . . , x n , x) = p n (x 1 , . . . , x n ) pour toute suite
(x 1 , . . . , x n ) appartenant `
a S
n .
Si C = {π n ∈ A} est un cylindre, on pose P(C) = P{π n ∈ A} =
p n (x 1 , . . . , x n ), o` u la sommation se fait sur toutes les suites (x 1 , . . . , x n )
appartenant `
a A. Montrer que cette formule ne d´ epend que de C (non pas
de n, ni de A).
4. — Si (C m ) (m ≥ 1) est une suite d´ ecroissante de cylindres non vides,
leur intersection est non vide.
5. — L’application P : A → R qui au cylindre C = {π n ∈ A} (A ⊂ S
n )
fait correspondre le nombre P(C) =
A p n (x 1 , x 2 , . . . , x n ), est une mesure
de probabilit´ e sur l’alg` ebre A.
6. — Soit S un ensemble fini. On suppose donn´ e pour tout n une fonction
p n : S
n
→ R satisfaisant les trois propri´ et´ es (i), (ii) et (iii) de l’exercice 3.
Alors il existe sur (Ω, T) une et une seule mesure de probabilit´ e P telle que
pout tout n ≥ 1 et tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ S
n , on ait :
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = p n (x 1 , . . . , x n ).
7 (Produit d’espaces probabilis´ es). — Supposons que l’ensemble fini S
soit muni d’une mesure de probabilit´ e p. Alors sur l’espace (Ω, T) il existe
une et une seule mesure de probabilit´ e P telle que
(i) les projections X n soient mutuellement ind´ ependantes ;
(ii) pour toute partie U de S et tout n on ait : P{X n ∈ U } = p(U ).
8 (Probabilit´ es conditionnelles compatibles). — Soit p 1 une mesure de probabilit´ e sur S et pour tout n ≥ 2 soit q n : S
n
→ R + une fonction satisfaisant
pour tout (x 1 , . . . , x n−1 ) ∈ S
n−1 la relation
x∈S q n (x 1 , . . . , x n−1 , x) = 1.
Alors il existe une et une seule mesure de probabilit´ e P sur (Ω, T) telle
que P{X 1 = x 1 } = p 1 (x 1 ) et telle que pour tout n ≥ 1 et toute suite
(x 1 , . . . , x n ) ∈ S
n on ait :
P{X n = x n | X n−1 = x n−1 , . . . , X 1 = x 1 } = q n (x 1 , . . . , x n ).
9 (Chaˆ ınes de Markov homog` enes). — Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et (X n ) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies sur cet espace ` a valeurs
EMENTS ET EXERCICES
127
2 (La tribu des ´ ev` enements observables). — Soit T = T(A) la tribu
engendr´ ee par A, dite des ´ ev` enements observables. C’est la plus petite tribu
rendant tous les π n (resp. X n ) (n ≥ 1) mesurables.
3. — On consid` ere, pour chaque n ≥ 1, une fonction r´ eelle p n d´ efinie sur
S
n , ayant les propri´ et´ es suivantes :
(i) p n ≥ 0 ;
(ii)
x∈S
p 1 (x) = 1 ;
(iii)
x∈S
p n+1 (x 1 , . . . , x n , x) = p n (x 1 , . . . , x n ) pour toute suite
(x 1 , . . . , x n ) appartenant `
a S
n .
Si C = {π n ∈ A} est un cylindre, on pose P(C) = P{π n ∈ A} =
p n (x 1 , . . . , x n ), o` u la sommation se fait sur toutes les suites (x 1 , . . . , x n )
appartenant `
a A. Montrer que cette formule ne d´ epend que de C (non pas
de n, ni de A).
4. — Si (C m ) (m ≥ 1) est une suite d´ ecroissante de cylindres non vides,
leur intersection est non vide.
5. — L’application P : A → R qui au cylindre C = {π n ∈ A} (A ⊂ S
n )
fait correspondre le nombre P(C) =
A p n (x 1 , x 2 , . . . , x n ), est une mesure
de probabilit´ e sur l’alg` ebre A.
6. — Soit S un ensemble fini. On suppose donn´ e pour tout n une fonction
p n : S
n
→ R satisfaisant les trois propri´ et´ es (i), (ii) et (iii) de l’exercice 3.
Alors il existe sur (Ω, T) une et une seule mesure de probabilit´ e P telle que
pout tout n ≥ 1 et tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ S
n , on ait :
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = p n (x 1 , . . . , x n ).
7 (Produit d’espaces probabilis´ es). — Supposons que l’ensemble fini S
soit muni d’une mesure de probabilit´ e p. Alors sur l’espace (Ω, T) il existe
une et une seule mesure de probabilit´ e P telle que
(i) les projections X n soient mutuellement ind´ ependantes ;
(ii) pour toute partie U de S et tout n on ait : P{X n ∈ U } = p(U ).
8 (Probabilit´ es conditionnelles compatibles). — Soit p 1 une mesure de probabilit´ e sur S et pour tout n ≥ 2 soit q n : S
n
→ R + une fonction satisfaisant
pour tout (x 1 , . . . , x n−1 ) ∈ S
n−1 la relation
x∈S q n (x 1 , . . . , x n−1 , x) = 1.
Alors il existe une et une seule mesure de probabilit´ e P sur (Ω, T) telle
que P{X 1 = x 1 } = p 1 (x 1 ) et telle que pour tout n ≥ 1 et toute suite
(x 1 , . . . , x n ) ∈ S
n on ait :
P{X n = x n | X n−1 = x n−1 , . . . , X 1 = x 1 } = q n (x 1 , . . . , x n ).
9 (Chaˆ ınes de Markov homog` enes). — Soient (Ω, A, P) un espace probabilis´ e et (X n ) une suite de variables al´ eatoires d´ efinies sur cet espace ` a valeurs