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CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Corollaire. — Supposons, en outre, que
a) X n → X (presque partout) ;
b) il existe M ∈ [0, +∞[ tel que pour tout n ≥ 1 on ait
X n dµ ≤ M .
Alors
X dµ ≤ M .
Th´ eor` eme 9.3 (Th´ eor` eme de convergence domin´ ee de Lebesgue). — Soit
(X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires, µ-int´ egrables. On suppose que :
a) X n → X (presque partout) ;
b) il existe une variable al´ eatoire Y , `
a valeurs positives, telle que
Y dµ < ∞ et que pour tout n ≥ 1 on ait |X n | ≤ Y .
Alors X est µ-int´ egrable et l’on a :
lim
n→∞
X n dµ = lim
n→∞
X n dµ.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
Soient S = {1, 2, . . . , r} (r ≥ 2) un ensemble fini et Ω l’ensemble S
N
∗
de toutes les suites infinies ω = (x 1 , x 2 , . . . ), o` u les x i (i = 1, 2, . . . )
appartiennent `
a S. Le but de la suite d’exercices 1–9 est de montrer comment
on peut munir Ω d’une tribu d’´ ev` enements T, distincte de P(Ω), mais
contenant tous les ´ ev` enements dits observables ou qui ne font intervenir qu’un
nombre fini d’instants (on pr´ ecisera cette notion plus loin.) Ensuite, partant
d’une classe de mesures de probabilit´ e (p n ) (n ≥ 1), o` u p n est une mesure de
probabilit´ e sur S
n et supposant v´ erifi´ ees certaines relations de compatibilit´ e
entre les p n , le but sera de probabiliser l’espace (Ω, T), c’est-` a-dire de munir
(Ω, T) d’une mesure de probabilit´ e P. Lorsque r = 2, la construction propos´ ee
permet de probabiliser les suites infinies du jeu de pile ou face . (Voir
exercice 7.)
1 (L’alg` ebre des ´ ev` enements observables). — Pour n ≥ 1 d´ esignons par
π n : Ω → S
n la projection qui envoie chaque suite infinie ω = (x 1 , x 2 , . . . )
de Ω sur la suite finie π n (ω) = (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Notons aussi X n : Ω → S
la n
i` eme application coordonn´ ee d´ efinie par X n (ω) = x n . Appelons enfin ncylindre toute partie C de Ω de la forme C = {π n ∈ A} = π
−1
n (A), o` u A est
une partie de S
n (n ≥ 1) et notons A n l’ensemble des n-cylindres.
a) Pour n ≥ 1, la classe A n des n-cylindres est une tribu.
b) La suite (A n ) (n ≥ 1) est monotone croissante :
A 1 ⊂ A 2 ⊂ · · · ⊂ A n ⊂ A n+1 ⊂ · · ·
c) La classe A = lim n A n =
n
A n est une alg` ebre et non pas une tribu.
CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Corollaire. — Supposons, en outre, que
a) X n → X (presque partout) ;
b) il existe M ∈ [0, +∞[ tel que pour tout n ≥ 1 on ait
X n dµ ≤ M .
Alors
X dµ ≤ M .
Th´ eor` eme 9.3 (Th´ eor` eme de convergence domin´ ee de Lebesgue). — Soit
(X n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires, µ-int´ egrables. On suppose que :
a) X n → X (presque partout) ;
b) il existe une variable al´ eatoire Y , `
a valeurs positives, telle que
Y dµ < ∞ et que pour tout n ≥ 1 on ait |X n | ≤ Y .
Alors X est µ-int´ egrable et l’on a :
lim
n→∞
X n dµ = lim
n→∞
X n dµ.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
Soient S = {1, 2, . . . , r} (r ≥ 2) un ensemble fini et Ω l’ensemble S
N
∗
de toutes les suites infinies ω = (x 1 , x 2 , . . . ), o` u les x i (i = 1, 2, . . . )
appartiennent `
a S. Le but de la suite d’exercices 1–9 est de montrer comment
on peut munir Ω d’une tribu d’´ ev` enements T, distincte de P(Ω), mais
contenant tous les ´ ev` enements dits observables ou qui ne font intervenir qu’un
nombre fini d’instants (on pr´ ecisera cette notion plus loin.) Ensuite, partant
d’une classe de mesures de probabilit´ e (p n ) (n ≥ 1), o` u p n est une mesure de
probabilit´ e sur S
n et supposant v´ erifi´ ees certaines relations de compatibilit´ e
entre les p n , le but sera de probabiliser l’espace (Ω, T), c’est-` a-dire de munir
(Ω, T) d’une mesure de probabilit´ e P. Lorsque r = 2, la construction propos´ ee
permet de probabiliser les suites infinies du jeu de pile ou face . (Voir
exercice 7.)
1 (L’alg` ebre des ´ ev` enements observables). — Pour n ≥ 1 d´ esignons par
π n : Ω → S
n la projection qui envoie chaque suite infinie ω = (x 1 , x 2 , . . . )
de Ω sur la suite finie π n (ω) = (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Notons aussi X n : Ω → S
la n
i` eme application coordonn´ ee d´ efinie par X n (ω) = x n . Appelons enfin ncylindre toute partie C de Ω de la forme C = {π n ∈ A} = π
−1
n (A), o` u A est
une partie de S
n (n ≥ 1) et notons A n l’ensemble des n-cylindres.
a) Pour n ≥ 1, la classe A n des n-cylindres est une tribu.
b) La suite (A n ) (n ≥ 1) est monotone croissante :
A 1 ⊂ A 2 ⊂ · · · ⊂ A n ⊂ A n+1 ⊂ · · ·
c) La classe A = lim n A n =
n
A n est une alg` ebre et non pas une tribu.