9. TH ´
EOR `
EMES DE CONVERGENCE
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Proposition 8.1. — Si
X dµ et
Y dµ existent, alors les propri´ et´ es
suivantes sont satisfaites :
A. Lin´ earit´ e
(A1)
(X + Y ) dµ =
X dµ +
Y dµ ;
(A2) pour tout λ r´ eel, on a :
λX dµ = λ
X dµ ;
(A3) pour tous A, B ∈ A, disjoints, on a :
A+B
X dµ =
A
X dµ +
B
X dµ.
B. Monotonie
(B1) X ≥ 0 =⇒
X dµ ≥ 0 ;
(B2) X ≥ Y =⇒
X dµ ≥
Y dµ ;
(B3) X = Y µ-presque partout =⇒
X dµ =
Y dµ.
C. Int´ egrabilit´ e
(C1) X µ-int´ egrable ⇐⇒ |X| µ-int´ egrable ;
(C2) X µ-int´ egrable =⇒ X presque partout fini.
(C3) |X| ≤ Y et Y µ-int´ egrable =⇒ X µ-int´ egrable ;
(C4) X et Y µ-int´ egrables =⇒ X + Y µ-int´ egrable.
D. Majoration de l’int´ egrale
(D1) Soient a et b deux nombres r´ eels tels que pour tout ω d’un ensemble
A ∈ A on ait a ≤ X(ω) ≤ b et µ(A) < ∞, alors a µ(A) ≤
A
X dµ ≤ b µ(A).
(D2) Si X est µ-int´ egrable, alors
X dµ
≤
|X| dµ.
9. Th´ eor` emes de convergence. — Les trois th´ eor` emes de convergence
que nous ´ enon¸ cons maintenant sans d´ emonstration sont fondamentaux. (cf.
Revuz [12], pp. 61, 70 et 93.) Toutes les variables al´ eatoires r´ eelles qui
interviennent sont d´ efinies sur un mˆ emes espace mesur´ e (Ω, A, µ).
Th´ eor` eme 9.1 (Th´ eor` eme de convergence monotone de Beppo Levi).
Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite croissante de variables al´ eatoires positives.
Cette suite converge au sens de la convergence simple vers une limite positive
mesurable. On a alors
lim
n→∞
X n dµ = lim
n→∞
X n dµ,
cette ´ egalit´ e ayant lieu dans [0, +∞].
On peut donner de ce th´ eor` eme la version suivante :
Soit (Y n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles positives. Alors
n≥1
Y n dµ =
n≥1
Y n dµ,
cette ´ egalit´ e ayant lieu dans [0, +∞].
Th´ eor` eme 9.2 (Lemme de Fatou). — Soit (X n ) (n ≥ 1) une suite de
variables al´ eatoires r´ eelles positives. Alors
lim inf
n→∞
X n dµ ≤ lim inf
n→∞
X n dµ,
cette in´ egalit´ e ayant lieu dans [0, +∞].