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CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Supposons que X soit une variable al´ eatoire positive et soit (X n ) (n ≥ 1)
une suite croissante de variables al´ eatoires simples, positives telle que X =
lim n X n . On a alors :
X dP = lim n
X n dP = lim n X n (ω 0 ) = X(ω 0 ).
Supposons enfin que X soit une variable al´ eatoire r´ eelle et que |X(ω 0 )| <
+∞. On a alors
X
+ dP = X
+ (ω 0 ) < +∞,
X
− dP = X
− (ω 0 ) < +∞,
d’o` u
X dP =
X
+ dP −
X
− dP = X
+ (ω 0 ) − X
− (ω 0 ) = X(ω 0 ).
Exemple 7.2. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, o` u P =
i α i ε ω i
(α i > 0,
i α i = 1) est une mesure de probabilit´ e discr` ete sur (Ω, A). Soit,
d’autre part, X une variable al´ eatoire r´ eelle sur cet espace. Si X ≥ 0, ou si
i α i |X(ω i )| < ∞, alors
X dP =
i α i X(ω i ).
D´ emonstration. — Supposons que X =
n
k=1 x k I A k soit une variable
al´ eatoire simple, positive. Alors
X dP =
n
k=1
x k P(A k ) =
n
k=1
x k
i
α i ε ω i (A k )
=
i
α i
n
k=1
x k ε ω i (A k )
=
i
α i X(ω i ).
Supposons que X soit une variable al´ eatoire positive et soit (X n ) (n ≥
1) une suite croissante de variables al´ eatoires simples positives telle que
X = lim n X n . On a alors
X dP = lim n
X n dP = lim n
i α i X n (ω i )
=
i α i X(ω i ).
Supposons enfin que
i α i |X(ω i )| < ∞. On a alors
X
+ dP =
i α i X
+ (ω i ) < ∞,
X
− dP =
i α i X
− (ω i ) < ∞, d’o` u
X dP =
X
+ dP −
X
− dP =
i
X
+ (ω i ) − X
− (ω i )
=
i
α i X(ω i ).
8. Propri´ et´ es de l’int´ egrale
D´ efinition. — Soient (Ω, A, µ) un espace mesur´ e et P une propri´ et´ e dont
la valeur de v´ erit´ e d´ epend de ω ∈ Ω. On dit que P est vraie µ-presque partout,
s’il existe un A ∈ A tel que µ(A) = 0 et tel que la propri´ et´ e P est vraie pour
tout ω ∈ A
c .
Remarque. — Dans cette d´ efinition, on n’impose pas que l’ensemble A
des
ω ∈ Ω qui n’ont pas la propri´ et´ e P soit de mesure nulle, car A
n’appartient
pas n´ ecessairement ` a A. On a, en fait, A
⊂ A, A ∈ A, µ(A) = 0 et P est vraie
dans A
c (mais P est aussi vraie dans A \ A
). (On pourrait exprimer ce fait
en disant que l’ensemble A
des ω o` u P n’est pas v´ erifi´ ee est n´ egligeable .)
Dans ce paragraphe, les variables al´ eatoires X, Y qui interviennent sont
d´ efinies sur un espace mesur´ e (Ω, A, µ). Suivant notre convention, on dira que
X dµ existe, si X ≥ 0, ou si X est µ-int´ egrable. Enfin, si
X dµ existe et
si A ∈ A, on posera
A
X dµ =
Ω
XI A dµ.
CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Supposons que X soit une variable al´ eatoire positive et soit (X n ) (n ≥ 1)
une suite croissante de variables al´ eatoires simples, positives telle que X =
lim n X n . On a alors :
X dP = lim n
X n dP = lim n X n (ω 0 ) = X(ω 0 ).
Supposons enfin que X soit une variable al´ eatoire r´ eelle et que |X(ω 0 )| <
+∞. On a alors
X
+ dP = X
+ (ω 0 ) < +∞,
X
− dP = X
− (ω 0 ) < +∞,
d’o` u
X dP =
X
+ dP −
X
− dP = X
+ (ω 0 ) − X
− (ω 0 ) = X(ω 0 ).
Exemple 7.2. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e, o` u P =
i α i ε ω i
(α i > 0,
i α i = 1) est une mesure de probabilit´ e discr` ete sur (Ω, A). Soit,
d’autre part, X une variable al´ eatoire r´ eelle sur cet espace. Si X ≥ 0, ou si
i α i |X(ω i )| < ∞, alors
X dP =
i α i X(ω i ).
D´ emonstration. — Supposons que X =
n
k=1 x k I A k soit une variable
al´ eatoire simple, positive. Alors
X dP =
n
k=1
x k P(A k ) =
n
k=1
x k
i
α i ε ω i (A k )
=
i
α i
n
k=1
x k ε ω i (A k )
=
i
α i X(ω i ).
Supposons que X soit une variable al´ eatoire positive et soit (X n ) (n ≥
1) une suite croissante de variables al´ eatoires simples positives telle que
X = lim n X n . On a alors
X dP = lim n
X n dP = lim n
i α i X n (ω i )
=
i α i X(ω i ).
Supposons enfin que
i α i |X(ω i )| < ∞. On a alors
X
+ dP =
i α i X
+ (ω i ) < ∞,
X
− dP =
i α i X
− (ω i ) < ∞, d’o` u
X dP =
X
+ dP −
X
− dP =
i
X
+ (ω i ) − X
− (ω i )
=
i
α i X(ω i ).
8. Propri´ et´ es de l’int´ egrale
D´ efinition. — Soient (Ω, A, µ) un espace mesur´ e et P une propri´ et´ e dont
la valeur de v´ erit´ e d´ epend de ω ∈ Ω. On dit que P est vraie µ-presque partout,
s’il existe un A ∈ A tel que µ(A) = 0 et tel que la propri´ et´ e P est vraie pour
tout ω ∈ A
c .
Remarque. — Dans cette d´ efinition, on n’impose pas que l’ensemble A
des
ω ∈ Ω qui n’ont pas la propri´ et´ e P soit de mesure nulle, car A
n’appartient
pas n´ ecessairement ` a A. On a, en fait, A
⊂ A, A ∈ A, µ(A) = 0 et P est vraie
dans A
c (mais P est aussi vraie dans A \ A
). (On pourrait exprimer ce fait
en disant que l’ensemble A
des ω o` u P n’est pas v´ erifi´ ee est n´ egligeable .)
Dans ce paragraphe, les variables al´ eatoires X, Y qui interviennent sont
d´ efinies sur un espace mesur´ e (Ω, A, µ). Suivant notre convention, on dira que
X dµ existe, si X ≥ 0, ou si X est µ-int´ egrable. Enfin, si
X dµ existe et
si A ∈ A, on posera
A
X dµ =
Ω
XI A dµ.