7. EXEMPLES
123
Remarque 1. — La limite au dernier membre existe bien (comme ´ el´ ement
de [ 0, +∞ ]) en vertu de la Proposition 6.1. D’autre part, cette expression ne
d´ epend pas de la suite particuli` ere (X n ) (n ≥ 1) dont la limite repr´ esente X ;
c’est un nombre qui ne d´ epend que de X.
En effet, soient (X n ), (Y n ) (n ≥ 1) deux suites croissantes de variables
al´ eatoires simples, positives, telles que X = lim n X n = sup n X n , X =
lim n Y n = sup n Y n . Il r´ esulte alors de la Proposition 6.2 que
X dµ =
lim n
X n dµ = sup n
X n dµ = sup n
Y n dµ = lim n
Y n dµ. On pourrait
´ egalement d´ efinir
X dµ comme
X dµ = sup
S dµ, o` u le sup est ´ etendu
` a toutes les variables al´ eatoires simples positives S v´ erifiant 0 ≤ S ≤ X.
Remarque 2. — On dit quelquefois que X est µ-int´ egrable, si
X dµ <
+∞ ; mais il est convenu de dire que
X dµ existe mˆ eme si
X dµ = +∞.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire (` a valeurs dans R) ; d’apr` es
la Proposition 5.3.2 les fonctions X
+ et X
− sont des variables al´ eatoires ` a
valeurs dans [ 0, +∞ ], qui admettent donc des int´ egrales
X
+ dµ,
X
− dµ,
´ el´ ements de [ 0, +∞ ]. On dit que X est µ-int´ egrable, si
X
+ dµ et
X
− dµ
sont toutes deux finies et le nombre r´ eel
X dµ =
X
+ dµ −
X
− dµ
est appel´ e l’int´ egrale de X par rapport `
a la mesure µ.
Remarque 3. — On a |X| = X
+ + X
− , d’o` u, en utilisant la propri´ et´ e de
lin´ earit´ e de l’int´ egrale (´ etablie dans le paragraphe 8 de ce chapitre) l’identit´ e
|X| dµ =
X
+ dµ +
X
− dµ (´ egalit´ e dans [ 0, +∞ ]). On en d´ eduit que
X dµ est µ-int´ egrable, si et seulement si
|X| dµ < ∞.
Remarque 4. — La diff´ erence
X
+ dµ −
X
− dµ est encore d´ efinie si
l’un au moins des deux termes
X
+ dµ,
X
− dµ est fini. On pourra dans
ce cas encore parler de l’int´ egrale de X par rapport `
a µ, soit
X dµ =
X
+ dµ −
X
− dµ.
7. Exemples
Exemple 7.1. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e avec P = ε ω 0 , o` u
ε ω 0 est la mesure (de Dirac) d´ efinie par la mesure unit´ e au point ω 0 ∈ Ω.
Soit, d’autre part, X une variable al´ eatoire sur cet espace. Si X(ω 0 ) ≥ 0, ou
si |X(ω 0 )| < +∞, alors
Ω
X dε ω 0 = X(ω 0 ).
D´ emonstration. — Supposons que X =
n
k=1 x k I A k soit une variable
al´ eatoire simple, positive. Puisque (A 1 , . . . , A n ) forme une partition de Ω, il
existe un indice k 0 et un seul tel que ω 0 ∈ A k 0 , d’o` u
X dP =
n
k=1
x k P(A k ) = x k 0 P(A k 0 ) = x k 0 = X(ω 0 ).
123
Remarque 1. — La limite au dernier membre existe bien (comme ´ el´ ement
de [ 0, +∞ ]) en vertu de la Proposition 6.1. D’autre part, cette expression ne
d´ epend pas de la suite particuli` ere (X n ) (n ≥ 1) dont la limite repr´ esente X ;
c’est un nombre qui ne d´ epend que de X.
En effet, soient (X n ), (Y n ) (n ≥ 1) deux suites croissantes de variables
al´ eatoires simples, positives, telles que X = lim n X n = sup n X n , X =
lim n Y n = sup n Y n . Il r´ esulte alors de la Proposition 6.2 que
X dµ =
lim n
X n dµ = sup n
X n dµ = sup n
Y n dµ = lim n
Y n dµ. On pourrait
´ egalement d´ efinir
X dµ comme
X dµ = sup
S dµ, o` u le sup est ´ etendu
` a toutes les variables al´ eatoires simples positives S v´ erifiant 0 ≤ S ≤ X.
Remarque 2. — On dit quelquefois que X est µ-int´ egrable, si
X dµ <
+∞ ; mais il est convenu de dire que
X dµ existe mˆ eme si
X dµ = +∞.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire (` a valeurs dans R) ; d’apr` es
la Proposition 5.3.2 les fonctions X
+ et X
− sont des variables al´ eatoires ` a
valeurs dans [ 0, +∞ ], qui admettent donc des int´ egrales
X
+ dµ,
X
− dµ,
´ el´ ements de [ 0, +∞ ]. On dit que X est µ-int´ egrable, si
X
+ dµ et
X
− dµ
sont toutes deux finies et le nombre r´ eel
X dµ =
X
+ dµ −
X
− dµ
est appel´ e l’int´ egrale de X par rapport `
a la mesure µ.
Remarque 3. — On a |X| = X
+ + X
− , d’o` u, en utilisant la propri´ et´ e de
lin´ earit´ e de l’int´ egrale (´ etablie dans le paragraphe 8 de ce chapitre) l’identit´ e
|X| dµ =
X
+ dµ +
X
− dµ (´ egalit´ e dans [ 0, +∞ ]). On en d´ eduit que
X dµ est µ-int´ egrable, si et seulement si
|X| dµ < ∞.
Remarque 4. — La diff´ erence
X
+ dµ −
X
− dµ est encore d´ efinie si
l’un au moins des deux termes
X
+ dµ,
X
− dµ est fini. On pourra dans
ce cas encore parler de l’int´ egrale de X par rapport `
a µ, soit
X dµ =
X
+ dµ −
X
− dµ.
7. Exemples
Exemple 7.1. — Soit (Ω, A, P) un espace probabilis´ e avec P = ε ω 0 , o` u
ε ω 0 est la mesure (de Dirac) d´ efinie par la mesure unit´ e au point ω 0 ∈ Ω.
Soit, d’autre part, X une variable al´ eatoire sur cet espace. Si X(ω 0 ) ≥ 0, ou
si |X(ω 0 )| < +∞, alors
Ω
X dε ω 0 = X(ω 0 ).
D´ emonstration. — Supposons que X =
n
k=1 x k I A k soit une variable
al´ eatoire simple, positive. Puisque (A 1 , . . . , A n ) forme une partition de Ω, il
existe un indice k 0 et un seul tel que ω 0 ∈ A k 0 , d’o` u
X dP =
n
k=1
x k P(A k ) = x k 0 P(A k 0 ) = x k 0 = X(ω 0 ).