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CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Pour tout n ≥ 1 les ensembles
k−1
2 n ≤ X <
k
2 n
(k = 1, . . . , n2
n ) et {X ≥ n}
sont disjoints et appartiennent `
a A. Il en r´ esulte que, pour tout n ≥ 1, la
fonction X n est une variable al´ eatoire simple, positive et il est clair que la
suite (X n ) (n ≥ 1) est croissante. Enfin, X = lim n X n = sup n X n , car, pour
tout ω ∈ Ω, on a, ou bien X(ω) = +∞ et alors X n (ω) = n pour tout n ≥ 1,
ou bien X(ω) < ∞ et alors 0 ≤ X(ω) − X n (ω) ≤ 1/2
n pour n > X(ω).
6. Int´ egrale d’une variable al´ eatoire r´ eelle par rapport ` a une
mesure. — Supposons que les variables al´ eatoires sont d´ efinies sur un
espace mesur´ e (Ω, A, µ). Au chapitre suivant, nous verrons les cons´ equences
` a apporter lorsque µ sera remplac´ ee par une mesure de probabilit´ e P.
D´ efinition. — Soit X =
n
k=1 x k I A k une variable al´ eatoire simple,
positive (les x k sont des r´ eels positifs et (A 1 , . . . , A n ) est une partition de Ω
en ´ el´ ements de A). On appelle int´ egrale de X par rapport `
a la mesure µ le
nombre positif, not´ e
X dµ, ou bien
Ω
X dµ et d´ efini par :
(6.1)
X dµ =
Ω
X dµ =
n
k=1
x k µ(A k ).
Remarque. — Cette expression ne d´ epend pas de la combinaison lin´ eaire
particuli` ere d’indicatrices qui repr´ esente X, comme on le v´ erifie facilement ;
c’est un nombre qui ne d´ epend que de X.
La proposition suivante est facile `
a v´ erifier.
Proposition 6.1 (Monotonie). — Soient X, Y deux variables al´ eatoires
simples, positives ; alors
X ≤ Y =⇒
X dµ ≤
Y dµ.
La proposition suivante est plus difficile `
a v´ erifier.
Proposition 6.2. — Soient (X n ), (Y n ) (n ≥ 1) deux suites croissantes
de variables al´ eatoires simples, positives ; alors
sup n X n = sup n Y n =⇒ sup n
X n dµ = sup n
Y n dµ.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle positive. D’apr` es le
Lemme 5.4.1, il existe une suite croissante (X n ) (n ≥ 1) de variables
al´ eatoires simples, positives, telle que, au sens de la convergence simple, on
ait X n ↑ X (n → ∞). On appelle int´ egrale de X par rapport `
a la mesure µ
le nombre fini ou infini
X dµ = lim
n→∞
X n dµ.
CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Pour tout n ≥ 1 les ensembles
k−1
2 n ≤ X <
k
2 n
(k = 1, . . . , n2
n ) et {X ≥ n}
sont disjoints et appartiennent `
a A. Il en r´ esulte que, pour tout n ≥ 1, la
fonction X n est une variable al´ eatoire simple, positive et il est clair que la
suite (X n ) (n ≥ 1) est croissante. Enfin, X = lim n X n = sup n X n , car, pour
tout ω ∈ Ω, on a, ou bien X(ω) = +∞ et alors X n (ω) = n pour tout n ≥ 1,
ou bien X(ω) < ∞ et alors 0 ≤ X(ω) − X n (ω) ≤ 1/2
n pour n > X(ω).
6. Int´ egrale d’une variable al´ eatoire r´ eelle par rapport ` a une
mesure. — Supposons que les variables al´ eatoires sont d´ efinies sur un
espace mesur´ e (Ω, A, µ). Au chapitre suivant, nous verrons les cons´ equences
` a apporter lorsque µ sera remplac´ ee par une mesure de probabilit´ e P.
D´ efinition. — Soit X =
n
k=1 x k I A k une variable al´ eatoire simple,
positive (les x k sont des r´ eels positifs et (A 1 , . . . , A n ) est une partition de Ω
en ´ el´ ements de A). On appelle int´ egrale de X par rapport `
a la mesure µ le
nombre positif, not´ e
X dµ, ou bien
Ω
X dµ et d´ efini par :
(6.1)
X dµ =
Ω
X dµ =
n
k=1
x k µ(A k ).
Remarque. — Cette expression ne d´ epend pas de la combinaison lin´ eaire
particuli` ere d’indicatrices qui repr´ esente X, comme on le v´ erifie facilement ;
c’est un nombre qui ne d´ epend que de X.
La proposition suivante est facile `
a v´ erifier.
Proposition 6.1 (Monotonie). — Soient X, Y deux variables al´ eatoires
simples, positives ; alors
X ≤ Y =⇒
X dµ ≤
Y dµ.
La proposition suivante est plus difficile `
a v´ erifier.
Proposition 6.2. — Soient (X n ), (Y n ) (n ≥ 1) deux suites croissantes
de variables al´ eatoires simples, positives ; alors
sup n X n = sup n Y n =⇒ sup n
X n dµ = sup n
Y n dµ.
D´ efinition. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle positive. D’apr` es le
Lemme 5.4.1, il existe une suite croissante (X n ) (n ≥ 1) de variables
al´ eatoires simples, positives, telle que, au sens de la convergence simple, on
ait X n ↑ X (n → ∞). On appelle int´ egrale de X par rapport `
a la mesure µ
le nombre fini ou infini
X dµ = lim
n→∞
X n dµ.