5. VARIABLES AL ´
EATOIRES R ´
EELLES
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5.4. Variables al´ eatoires simples. — Soit (A 1 , . . . , A n ) une partition finie
de Ω en ´ el´ ements de A. Il r´ esulte de la Proposition 5.3.1 que si (x 1 , . . . , x n ) est
un n-uple de nombres r´ eels, alors l’application X =
n
k=1 x k I A k de Ω dans
R est une variable al´ eatoire (` a valeurs finies) ; d’o` u la d´ efinition suivante.
D´ efinition. — Soient (A 1 , . . . , A n ) une partition de Ω en ´ el´ ements de A
et (x 1 , . . . , x n ) un n-uple de nombres r´ eels. L’application
X =
n
k=1
x k I A k
de (Ω, A) dans (R, B) est appel´ ee variable al´ eatoire simple ou ´ etag´ ee.
L’importance des variables simples apparaˆ ıt clairement dans les lemmes
suivants.
Lemme 5.4.1 (Lemme d’approximation). — Soit X une application de
(Ω, A) dans R
+ . Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que X soit une
variable al´ eatoire (positive) est qu’elle soit limite (au sens de la convergence
simple) d’une suite croissante (X n ) (n ≥ 1) de variables al´ eatoires simples,
positives sur (Ω, A).
D´ emonstration. — Si X = lim n X n , o` u X n (n ≥ 1) est une suite croissante
de variables al´ eatoires simples, positives, alors, d’apr` es la Proposition 5.3.1,
la fonction X est une variable al´ eatoire (positive).
R´ eciproquement, soit X une variable al´ eatoire r´ eelle positive ; pour tout
n ≥ 1 et tout ω ∈ Ω ´ ecrivons :
X n (ω) =



k − 1
2 n , si
k − 1
2 n ≤ X(ω) <
k
2 n (k = 1, . . . , n2
n ) ;
n,
si X(ω) ≥ n.
R +
0
n
k/2
n
(k − 1)/2
n
Ω
On peut alors repr´ esenter X n sous la forme :
(5.4.1)
X n =
n2
n
k=1
k − 1
2 n I k−1
2 n ≤ X <
k
2 n
+ n I
X ≥ n
.