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CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
5. Variables al´ eatoires r´ eelles. — Il est utile d’´ etendre l´ eg` erement la
d´ efinition d’une variable al´ eatoire r´ eelle et de la prendre `
a valeurs dans la
droite achev´ ee.
5.1. La droite achev´ ee. — On appelle nombre fini tout nombre r´ eel x ∈ R et
nombre infini l’un des symboles −∞, +∞, v´ erifiant les propri´ et´ es suivantes :
a) −∞ < +∞ ;
b) pour tout x ∈ R,

 
 
−∞ < x < +∞ ;
±∞ = (±∞) + x = x + (±∞) ;
x
+∞
= 0 ;
c) x(±∞) = (±∞)x =
±∞, si 0 < x ≤ +∞ ;
0,
si x = 0 ;
∓∞, si −∞ ≤ x < 0.
On ne donnera pas de sens `
a la diff´ erence +∞ − ∞ et il conviendra donc
de l’´ eviter. La droite achev´ ee R est l’ensemble de tous les nombres finis ou
infinis. On ´ ecrit : R =]−∞, +∞[, R = [−∞, +∞].
5.2. La tribu bor´ elienne achev´ ee. — C’est la tribu B engendr´ ee par
B ∪ {−∞, +∞}, o` u B d´ esigne la tribu bor´ elienne sur R. Un ensemble A ⊂ R
appartient `
a B si et seulement si A ∩ R ∈ B.
5.3. Variable al´ eatoire r´ eelle. — Une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur
un espace mesurable (Ω, A) est une application mesurable X de (Ω, A) dans
(R, B) ; pour tout B ∈ B, elle v´ erifie donc la propri´ et´ e X
−1 (B) ∈ A.
Si X(Ω) ⊂ R, on dit que X est finie.
Si X(Ω) ⊂ [0, +∞], on dit que X est positive.
Notation. — Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle. On note X
+ = X ∨ 0 =
sup(X, 0), X
− = −X ∧ 0 = − inf(X, 0), et l’on a : X = X
+
− X
− ,
|X| = X
+ + X
− .
Proposition 5.3.1. — Soient X, Y , deux variables al´ eatoires r´ eelles
d´ efinies sur un mˆ eme espace mesurable (Ω, A). Alors les applications |X|,
|Y |, X ± Y (au cas o` u cette application est d´ efinie sur tout Ω), XY ,
X ∨ Y = sup(X, Y ), X ∧ Y = inf(X, Y ) sont des variables al´ eatoires r´ eelles.
De mˆ eme, si (X n ) (n ≥ 1) est une suite de variables al´ eatoires r´ eelles
sur (Ω, A), alors les applications sup n X n , inf n X n , lim sup n X n , lim inf n X n
sont des variables al´ eatoires.
C’est un cas particulier de la Proposition 2.2 du chap. 5.
Proposition 5.3.2. — Soient X une application de Ω dans R et A une
tribu sur Ω. Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :
a) X est une variable al´ eatoire r´ eelle ;
b) X
+ et X
− sont des variables al´ eatoires r´ eelles.
D´ emonstration. — L’implication a) ⇒ b) r´ esulte de la Proposition 5.3.1,
puisque 0 est une variable al´ eatoire r´ eelle et b) ⇒ a) r´ esulte de la mˆ eme
proposition, puisque X = X
+
− X
− .