4. MESURES DE STIELTJES-LEBESGUE
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3. Mesure de probabilit´ e induite par une fonction de r´ epartition. — On rappelle qu’une fonction de r´ epartition sur la droite est une
fonction r´ eelle F, de variable r´ eelle, croissante, continue ` a droite et telle que
F(−∞) = 0 et F(+∞) = 1 (voir chap. 5, § 5). Le th´ eor` eme pr´ ec´ edent fournit
imm´ ediatement l’´ enonc´ e suivant.
Th´ eor` eme 3.1. — Soit F une fonction de r´ epartition sur la droite.
Il existe une et une seule mesure de probabilit´ e, not´ ee F{·}, sur la tribu
bor´ elienne B
1 telle que F{ ]a, b] } = F(b) − F(a) pour tout intervalle semiouvert born´ e ]a, b].
D´ emonstration. — La seule propri´ et´ e ` a v´ erifier est que la mesure F{·} est
bien une mesure de probabilit´ e. En effet, ] − n, +n] ↑ R, d’o` u
lim n F{ ] − n, +n] } = lim n (F(n) − F(−n)) = 1.
Comme ` a toute mesure de probabilit´ e P sur (R, B
1 ), on peut associer une
variable al´ eatoire r´ eelle X admettant P comme loi de probabilit´ e, on obtient
le corollaire suivant.
Corollaire. — Toute fonction de r´ epartition sur la droite est la fonction
de r´ epartition d’une variable al´ eatoire r´ eelle.
4. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur R
n . — On peut faire la mˆ eme
construction que ci-dessus dans le cas de plusieurs dimensions. On part d’une
fonction num´ erique F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) de n variables r´ eelles x 1 , x 2 , . . . , x n
ayant les propri´ et´ es suivantes :
(1) F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) est une fonction croissante, continue `
a droite, en
chacune des variables ;
(2) Pour tout h k ≥ 0 et tout x k r´ eel (k = 1, 2, . . . , n), on a :
∆
(1)
h 1
∆
(2)
h 2
. . . ∆
(n)
h n
F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ≥ 0,
o` u naturellement ∆
(k)
h k
F d´ esigne l’accroissement de F lorsqu’on augmente la
k
i` eme variable d’une valeur ´ egale ` a h k .
Soit I un pav´ e semi-ouvert de R
n . Le pav´ e I consiste en les points
(x 1 , x 2 , . . . , x n ) de R
n satisfaisant les in´ egalit´ es a k < x k ≤ b k (1 ≤ k ≤ n).
Posant h k = b k − a k (1 ≤ k ≤ n), on lui associe la mesure
(4.1)
F{I} = ∆
(1)
h 1
∆
(2)
h 2
. . . ∆
(n)
h n
F(a 1 , a 2 , . . . , a n ) ≥ 0.
Suivant la mˆ eme m´ ethode que dans le cas d’une dimension, on peut montrer
que F{·} peut ˆ etre prolong´ ee en une mesure sur les bor´ eliens de R
n , telle
que (4.1) soit satisfait pour tout pav´ e semi-ouvert. Dans le cas sp´ ecial o` u
F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 . . . x n , on obtient par prolongement la mesure de
Lebesgue λ
n sur (R
n , B
n ).
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3. Mesure de probabilit´ e induite par une fonction de r´ epartition. — On rappelle qu’une fonction de r´ epartition sur la droite est une
fonction r´ eelle F, de variable r´ eelle, croissante, continue ` a droite et telle que
F(−∞) = 0 et F(+∞) = 1 (voir chap. 5, § 5). Le th´ eor` eme pr´ ec´ edent fournit
imm´ ediatement l’´ enonc´ e suivant.
Th´ eor` eme 3.1. — Soit F une fonction de r´ epartition sur la droite.
Il existe une et une seule mesure de probabilit´ e, not´ ee F{·}, sur la tribu
bor´ elienne B
1 telle que F{ ]a, b] } = F(b) − F(a) pour tout intervalle semiouvert born´ e ]a, b].
D´ emonstration. — La seule propri´ et´ e ` a v´ erifier est que la mesure F{·} est
bien une mesure de probabilit´ e. En effet, ] − n, +n] ↑ R, d’o` u
lim n F{ ] − n, +n] } = lim n (F(n) − F(−n)) = 1.
Comme ` a toute mesure de probabilit´ e P sur (R, B
1 ), on peut associer une
variable al´ eatoire r´ eelle X admettant P comme loi de probabilit´ e, on obtient
le corollaire suivant.
Corollaire. — Toute fonction de r´ epartition sur la droite est la fonction
de r´ epartition d’une variable al´ eatoire r´ eelle.
4. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur R
n . — On peut faire la mˆ eme
construction que ci-dessus dans le cas de plusieurs dimensions. On part d’une
fonction num´ erique F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) de n variables r´ eelles x 1 , x 2 , . . . , x n
ayant les propri´ et´ es suivantes :
(1) F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) est une fonction croissante, continue `
a droite, en
chacune des variables ;
(2) Pour tout h k ≥ 0 et tout x k r´ eel (k = 1, 2, . . . , n), on a :
∆
(1)
h 1
∆
(2)
h 2
. . . ∆
(n)
h n
F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ≥ 0,
o` u naturellement ∆
(k)
h k
F d´ esigne l’accroissement de F lorsqu’on augmente la
k
i` eme variable d’une valeur ´ egale ` a h k .
Soit I un pav´ e semi-ouvert de R
n . Le pav´ e I consiste en les points
(x 1 , x 2 , . . . , x n ) de R
n satisfaisant les in´ egalit´ es a k < x k ≤ b k (1 ≤ k ≤ n).
Posant h k = b k − a k (1 ≤ k ≤ n), on lui associe la mesure
(4.1)
F{I} = ∆
(1)
h 1
∆
(2)
h 2
. . . ∆
(n)
h n
F(a 1 , a 2 , . . . , a n ) ≥ 0.
Suivant la mˆ eme m´ ethode que dans le cas d’une dimension, on peut montrer
que F{·} peut ˆ etre prolong´ ee en une mesure sur les bor´ eliens de R
n , telle
que (4.1) soit satisfait pour tout pav´ e semi-ouvert. Dans le cas sp´ ecial o` u
F(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 . . . x n , on obtient par prolongement la mesure de
Lebesgue λ
n sur (R
n , B
n ).