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CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
soit encore
F(b) − F(a + ε) ≤
∞
k=1
F{ ]a k , b k ] } + ε,
et puisque F est continue `
a droite,
F(b) − F(a) = F{ ]a, b] } ≤
∞
k=1
F{ ]a k , b k ] },
en faisant tendre ε vers 0.
Proposition 2.3. — Il existe une mesure unique F{·} sur A telle que
si U ∈ P 0 , alors F{U } = F{U }.
D´ emonstration. — Remarquons d’abord que tout intervalle de la forme
] − ∞, a
] ou ]a
, ∞[ peut s’´ ecrire comme r´ eunion d´ enombrable d’intervalles
appartenant `
a P 0 et deux `
a deux disjoints. Pour prolonger F{·} ` a l’alg` ebre A,
il suffit donc de montrer que si (U i ) est une suite d´ enombrable d’intervalles
appartenant `
a P 0 , de r´ eunion A, alors F{A} est compl` etement d´ etermin´ ee
par
F{A} =
i
F{U i }.
En effet, si l’on a aussi A =
j V j , o` u les V j appartiennent `
a P 0 et
sont deux `
a deux disjoints, on peut ´ ecrire : U i = AU i =
j V j U i et
V j = AV j =
i U i V j . Or chaque U i V j appartient `
a P 0 , puisque P 0 est
stable par intersection finie. Comme F{·} est σ-additive sur P 0 , il vient
i F{U i } =
i
j F{V j U i } =
j
i F{U i V j } =
j F{V j }.
En appliquant le th´ eor` eme de prolongement, on obtient l’´ enonc´ e suivant.
Th´ eor` eme 2.4. — Soit F une fonction r´ eelle d´ efinie sur R, croissante
et continue ` a droite. Il existe une mesure unique F{·}, d´ efinie sur la tribu
bor´ elienne B
1 de R telle que pour tout intervalle semi-ouvert born´ e ]a, b] on
ait
F{ ]a, b] } = F (b) − F (a).
La compl´ et´ ee
F{·} de la mesure F{·}, d´ efinie sur la tribu compl´ et´ ee B
F pour F
s’appelle la mesure de Lebesgue-Stieltjes induite par F.
Lorsque F (x) = x, la compl´ et´ ee que nous noterons λ
1 ou λ s’appelle la
mesure de Lebesgue sur la droite. Elle fait correspondre `
a tout intervalle
born´ e de la droite sa longueur. La tribu compl´ et´ ee s’appelle la tribu des
ensembles mesurables. Notons que λ
1 n’est pas une mesure finie, puisque
λ
1
{R} = lim n λ
1
{ ] − n + n] } = lim n 2n = +∞. En revanche, elle est σ-finie.
Ce n’est ´ evidemment pas une mesure de probabilit´ e sur la droite.
Revenons au cas g´ en´ eral d’une mesure de Stieltjes-Lebesgue F{·} induite
par une fonction F. Les formules suivantes sont imm´ ediates :
(i) F{{a}} = F(a) − F(a − 0) ;
(ii) F{ ]a, b] } = F(b) − F(a), F{ ]a, b[ } = F(b − 0) − F(a) ;
(iii) F{ [a, b] } = F(b) − F(a − 0), F{ [a, b[ } = F(b − 0) − F(a − 0).
CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
soit encore
F(b) − F(a + ε) ≤
∞
k=1
F{ ]a k , b k ] } + ε,
et puisque F est continue `
a droite,
F(b) − F(a) = F{ ]a, b] } ≤
∞
k=1
F{ ]a k , b k ] },
en faisant tendre ε vers 0.
Proposition 2.3. — Il existe une mesure unique F{·} sur A telle que
si U ∈ P 0 , alors F{U } = F{U }.
D´ emonstration. — Remarquons d’abord que tout intervalle de la forme
] − ∞, a
] ou ]a
, ∞[ peut s’´ ecrire comme r´ eunion d´ enombrable d’intervalles
appartenant `
a P 0 et deux `
a deux disjoints. Pour prolonger F{·} ` a l’alg` ebre A,
il suffit donc de montrer que si (U i ) est une suite d´ enombrable d’intervalles
appartenant `
a P 0 , de r´ eunion A, alors F{A} est compl` etement d´ etermin´ ee
par
F{A} =
i
F{U i }.
En effet, si l’on a aussi A =
j V j , o` u les V j appartiennent `
a P 0 et
sont deux `
a deux disjoints, on peut ´ ecrire : U i = AU i =
j V j U i et
V j = AV j =
i U i V j . Or chaque U i V j appartient `
a P 0 , puisque P 0 est
stable par intersection finie. Comme F{·} est σ-additive sur P 0 , il vient
i F{U i } =
i
j F{V j U i } =
j
i F{U i V j } =
j F{V j }.
En appliquant le th´ eor` eme de prolongement, on obtient l’´ enonc´ e suivant.
Th´ eor` eme 2.4. — Soit F une fonction r´ eelle d´ efinie sur R, croissante
et continue ` a droite. Il existe une mesure unique F{·}, d´ efinie sur la tribu
bor´ elienne B
1 de R telle que pour tout intervalle semi-ouvert born´ e ]a, b] on
ait
F{ ]a, b] } = F (b) − F (a).
La compl´ et´ ee
F{·} de la mesure F{·}, d´ efinie sur la tribu compl´ et´ ee B
F pour F
s’appelle la mesure de Lebesgue-Stieltjes induite par F.
Lorsque F (x) = x, la compl´ et´ ee que nous noterons λ
1 ou λ s’appelle la
mesure de Lebesgue sur la droite. Elle fait correspondre `
a tout intervalle
born´ e de la droite sa longueur. La tribu compl´ et´ ee s’appelle la tribu des
ensembles mesurables. Notons que λ
1 n’est pas une mesure finie, puisque
λ
1
{R} = lim n λ
1
{ ] − n + n] } = lim n 2n = +∞. En revanche, elle est σ-finie.
Ce n’est ´ evidemment pas une mesure de probabilit´ e sur la droite.
Revenons au cas g´ en´ eral d’une mesure de Stieltjes-Lebesgue F{·} induite
par une fonction F. Les formules suivantes sont imm´ ediates :
(i) F{{a}} = F(a) − F(a − 0) ;
(ii) F{ ]a, b] } = F(b) − F(a), F{ ]a, b[ } = F(b − 0) − F(a) ;
(iii) F{ [a, b] } = F(b) − F(a − 0), F{ [a, b[ } = F(b − 0) − F(a − 0).