2. MESURES DE STIELTJES-LEBESGUE SUR LA DROITE
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Propri´ et´ e 2.1
(i) F{∅} = 0, F{ ]a, b] } ≥ 0 ;
(ii) F{ ]a, b] } ↓ 0, lorsque b ↓ a ;
(iii) F{·} est additive sur P 0 : si a ≤ b ≤ c, alors
F{ ]a, c] } = F{ ]a, b] } + F{ ]b, c] } ;
(iv) F{·} est monotone.
Montrons d’abord que F{·} est σ-additive sur P 0 (prochaine Proposition)
et ensuite qu’elle se prolonge de fa¸ con unique en une mesure sur l’alg` ebre
A engendr´ ee par P 0 (Proposition suivante), qui n’est autre que la classe des
r´ eunions finies d’intervalles de la forme ] − ∞, a
], ]a, b], ]a
, +∞[. Enfin, en
utilisant le th´ eor` eme de prolongement, on en d´ eduit une mesure sur (R, B
1 ).
Proposition 2.2. — La fonction d’ensembles F{·} est σ-additive sur P 0 .
D´ emonstration. — Soit (U i =]a i , b i ]) une suite d’intervalles de P 0 , disjoints deux `
a deux, tels que U =
i U i est encore un ´ el´ ement ]a, b] de P 0 .
Pour tout n ≥ 1, on peut, si n´ ecessaire, renum´ eroter les intervalles de la suite
partielle (U 1 , . . . , U n ) de sorte que a ≤ a 1 ≤ b 1 ≤ · · · ≤ a n ≤ b n ≤ b. Alors
n
k=1
F{ ]a k , b k ] } ≤
n
k=1
F{ ]a k , b k ] } +
n−1
k=1
F{ ]b k , a k+1 ] } = F{ ]a 1 , b n ] }
≤ F{ ]a, b] } = F{U },
soit
∞
k=1
F{U k } ≤ F{U }.
Pour d´ emontrer l’in´ egalit´ e inverse, remarquons d’abord que le th´ eor` eme
est trivial si a = b. Si a < b, prenons ε > 0 tel que ε < b − a et posons
V = [a + ε, b]. Comme F est continue ` a droite, il existe, pour tout n, un
nombre ε n tel que F(b n + ε n ) − F(b n ) < ε/2
n , soit F{ ]b n , b n + ε n ] } < ε/2
n .
Posons V n =]a n , b n + ε n [. On a V n ⊃ U n , d’o` u
n V n ⊃
n U n = U =
]a, b] ⊃ [a + ε, b] = V . Par le th´ eor` eme de Borel-Lebesgue, il existe un entier
n 0 tel que
n 0
n=1
V n ⊃ V . En renum´ erotant les intervalles et ´ eventuellement en
en laissant tomber, on voit qu’il existe un entier m tel que
m
n=1
V n ⊃ V , o` u
les intervalles ouverts V n =]a n , b n + ε n [ ont la propri´ et´ e suivante :
a 1 < a + ε, a 2 < b 1 + ε 1 , a 3 < b 2 + ε 2 , . . . , a k+1 < b k + ε k ,
. . . , a m < b m−1 + ε m−1 , b < b m + ε m .
Il en r´ esulte
F{ ]a + ε, b] } ≤ F{ ]a 1 , b m + ε m ] }
≤ F{ ]a 1 , b 1 + ε 1 ] } + F{ ]a 2 , b 2 + ε 2 ] } + · · · + F{ ]a m , b m + ε m ] }
≤ F{ ]a 1 , b 1 ] } + F{ ]a 2 , b 2 ] } + · · · + F{ ]a m , b m ] }
+ F{ ]b 1 , b 1 + ε 1 ] } + F{ ]b 2 , b 2 + ε 2 ] } + · · · + F{ ]b m , b m + ε m ] }
≤
m
k=1
F{ ]a k , b k ] } +
m
k=1
ε
2 k ≤
∞
k=1
F{ ]a k , b k ] } + ε,
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Propri´ et´ e 2.1
(i) F{∅} = 0, F{ ]a, b] } ≥ 0 ;
(ii) F{ ]a, b] } ↓ 0, lorsque b ↓ a ;
(iii) F{·} est additive sur P 0 : si a ≤ b ≤ c, alors
F{ ]a, c] } = F{ ]a, b] } + F{ ]b, c] } ;
(iv) F{·} est monotone.
Montrons d’abord que F{·} est σ-additive sur P 0 (prochaine Proposition)
et ensuite qu’elle se prolonge de fa¸ con unique en une mesure sur l’alg` ebre
A engendr´ ee par P 0 (Proposition suivante), qui n’est autre que la classe des
r´ eunions finies d’intervalles de la forme ] − ∞, a
], ]a, b], ]a
, +∞[. Enfin, en
utilisant le th´ eor` eme de prolongement, on en d´ eduit une mesure sur (R, B
1 ).
Proposition 2.2. — La fonction d’ensembles F{·} est σ-additive sur P 0 .
D´ emonstration. — Soit (U i =]a i , b i ]) une suite d’intervalles de P 0 , disjoints deux `
a deux, tels que U =
i U i est encore un ´ el´ ement ]a, b] de P 0 .
Pour tout n ≥ 1, on peut, si n´ ecessaire, renum´ eroter les intervalles de la suite
partielle (U 1 , . . . , U n ) de sorte que a ≤ a 1 ≤ b 1 ≤ · · · ≤ a n ≤ b n ≤ b. Alors
n
k=1
F{ ]a k , b k ] } ≤
n
k=1
F{ ]a k , b k ] } +
n−1
k=1
F{ ]b k , a k+1 ] } = F{ ]a 1 , b n ] }
≤ F{ ]a, b] } = F{U },
soit
∞
k=1
F{U k } ≤ F{U }.
Pour d´ emontrer l’in´ egalit´ e inverse, remarquons d’abord que le th´ eor` eme
est trivial si a = b. Si a < b, prenons ε > 0 tel que ε < b − a et posons
V = [a + ε, b]. Comme F est continue ` a droite, il existe, pour tout n, un
nombre ε n tel que F(b n + ε n ) − F(b n ) < ε/2
n , soit F{ ]b n , b n + ε n ] } < ε/2
n .
Posons V n =]a n , b n + ε n [. On a V n ⊃ U n , d’o` u
n V n ⊃
n U n = U =
]a, b] ⊃ [a + ε, b] = V . Par le th´ eor` eme de Borel-Lebesgue, il existe un entier
n 0 tel que
n 0
n=1
V n ⊃ V . En renum´ erotant les intervalles et ´ eventuellement en
en laissant tomber, on voit qu’il existe un entier m tel que
m
n=1
V n ⊃ V , o` u
les intervalles ouverts V n =]a n , b n + ε n [ ont la propri´ et´ e suivante :
a 1 < a + ε, a 2 < b 1 + ε 1 , a 3 < b 2 + ε 2 , . . . , a k+1 < b k + ε k ,
. . . , a m < b m−1 + ε m−1 , b < b m + ε m .
Il en r´ esulte
F{ ]a + ε, b] } ≤ F{ ]a 1 , b m + ε m ] }
≤ F{ ]a 1 , b 1 + ε 1 ] } + F{ ]a 2 , b 2 + ε 2 ] } + · · · + F{ ]a m , b m + ε m ] }
≤ F{ ]a 1 , b 1 ] } + F{ ]a 2 , b 2 ] } + · · · + F{ ]a m , b m ] }
+ F{ ]b 1 , b 1 + ε 1 ] } + F{ ]b 2 , b 2 + ε 2 ] } + · · · + F{ ]b m , b m + ε m ] }
≤
m
k=1
F{ ]a k , b k ] } +
m
k=1
ε
2 k ≤
∞
k=1
F{ ]a k , b k ] } + ε,