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CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Fonction d’ensembles
d´ efinie sur
mesure ext´ erieure ↓
µ
∗
↑
P(Ω)
mesure
↓
µ
A
∗ tribu des ensembles µ
∗ -mesurables
mesure
µ
T(A) tribu engendr´ ee par A
mesure
µ
A alg` ebre
Donnons l’´ enonc´ e du th´ eor` eme de prolongement lorsque µ est une mesure
de probabilit´ e sur A. Comme Ω ∈ A et µ(Ω) = 1, on a naturellement
µ(Ω) = µ(Ω) = 1 et ainsi µ est une mesure de probabilit´ e sur T(A).
Th´ eor` eme 1.4. — Soit P une mesure de probabilit´ e sur une alg` ebre A
de parties d’un ensemble non vide Ω. Alors P se prolonge de fa¸ con unique
en une mesure de probabilit´ e P sur la tribu T(A) engendr´ ee par A.
Soient µ une mesure sur un espace mesurable (Ω, T) et N un sousensemble de Ω. On dit que N est (µ)-n´ egligeable, si N est un sous-ensemble
d’un ensemble de mesure nulle appartenant `
a T. Pour tout A ∈ T et tout
ensemble N µ-n´ egligeable, posons
µ(A ∪ N ) = µ(A).
On peut v´ erifier que la classe de tous les ensembles de la forme A ∪ N est
une tribu T
µ contenant T et que
µ est une mesure sur T
µ , qui prolonge la
mesure µ. La tribu T
µ est appel´ ee la tribu compl´ et´ ee de T pour µ et
µ est la
compl´ et´ ee de µ.
On peut montrer que dans le th´ eor` eme de prolongement 1.3, la tribu
compl´ et´ ee T
µ de la tribu T(A) pour µ est contenue dans A
∗ , c’est-` a-dire
T
µ
⊂ A
∗ . Ainsi le th´ eor` eme de prolongement fournit n´ ecessairement une
mesure compl` ete.
2. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur la droite. — Pour appliquer
le th´ eor` eme de prolongement, il faut d´ ej` a connaˆ ıtre une mesure sur une
alg` ebre A. Le th´ eor` eme suivant a pour but de construire une classe importante
de telles mesures sur une alg` ebre qui engendre la tribu bor´ elienne de la droite.
On suppose donn´ ee une fonction r´ eelle F, de variable r´ eelle, ayant la
propri´ et´ e suivante : F est une fonction croissante (au sens large), continue `
a
droite en tout point x de R. On pose lim
x→−∞
F(x) = F(−∞) et lim
x→+∞
F(x) =
F(+∞), ces deux nombres ´ etant finis ou infinis. Si F(−∞) = 0 et F(+∞) = 1,
on retrouve les propri´ et´ es d’une fonction de r´ epartition.
Associons ` a F une fonction d’ensembles, not´ ee F{·} d´ efinie sur la classe
P 0 des intervalles semi-ouverts de la forme ]a, b] (−∞ < a ≤ b < +∞), en
posant
(1.3)
F{ ]a, b] } = F (b) − F (a).
La propri´ et´ e suivante est imm´ ediate.
CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
Fonction d’ensembles
d´ efinie sur
mesure ext´ erieure ↓
µ
∗
↑
P(Ω)
mesure
↓
µ
A
∗ tribu des ensembles µ
∗ -mesurables
mesure
µ
T(A) tribu engendr´ ee par A
mesure
µ
A alg` ebre
Donnons l’´ enonc´ e du th´ eor` eme de prolongement lorsque µ est une mesure
de probabilit´ e sur A. Comme Ω ∈ A et µ(Ω) = 1, on a naturellement
µ(Ω) = µ(Ω) = 1 et ainsi µ est une mesure de probabilit´ e sur T(A).
Th´ eor` eme 1.4. — Soit P une mesure de probabilit´ e sur une alg` ebre A
de parties d’un ensemble non vide Ω. Alors P se prolonge de fa¸ con unique
en une mesure de probabilit´ e P sur la tribu T(A) engendr´ ee par A.
Soient µ une mesure sur un espace mesurable (Ω, T) et N un sousensemble de Ω. On dit que N est (µ)-n´ egligeable, si N est un sous-ensemble
d’un ensemble de mesure nulle appartenant `
a T. Pour tout A ∈ T et tout
ensemble N µ-n´ egligeable, posons
µ(A ∪ N ) = µ(A).
On peut v´ erifier que la classe de tous les ensembles de la forme A ∪ N est
une tribu T
µ contenant T et que
µ est une mesure sur T
µ , qui prolonge la
mesure µ. La tribu T
µ est appel´ ee la tribu compl´ et´ ee de T pour µ et
µ est la
compl´ et´ ee de µ.
On peut montrer que dans le th´ eor` eme de prolongement 1.3, la tribu
compl´ et´ ee T
µ de la tribu T(A) pour µ est contenue dans A
∗ , c’est-` a-dire
T
µ
⊂ A
∗ . Ainsi le th´ eor` eme de prolongement fournit n´ ecessairement une
mesure compl` ete.
2. Mesures de Stieltjes-Lebesgue sur la droite. — Pour appliquer
le th´ eor` eme de prolongement, il faut d´ ej` a connaˆ ıtre une mesure sur une
alg` ebre A. Le th´ eor` eme suivant a pour but de construire une classe importante
de telles mesures sur une alg` ebre qui engendre la tribu bor´ elienne de la droite.
On suppose donn´ ee une fonction r´ eelle F, de variable r´ eelle, ayant la
propri´ et´ e suivante : F est une fonction croissante (au sens large), continue `
a
droite en tout point x de R. On pose lim
x→−∞
F(x) = F(−∞) et lim
x→+∞
F(x) =
F(+∞), ces deux nombres ´ etant finis ou infinis. Si F(−∞) = 0 et F(+∞) = 1,
on retrouve les propri´ et´ es d’une fonction de r´ epartition.
Associons ` a F une fonction d’ensembles, not´ ee F{·} d´ efinie sur la classe
P 0 des intervalles semi-ouverts de la forme ]a, b] (−∞ < a ≤ b < +∞), en
posant
(1.3)
F{ ]a, b] } = F (b) − F (a).
La propri´ et´ e suivante est imm´ ediate.