1. MESURES
115
Dans beaucoup de situations, on peut construire effectivement une mesure
sur une alg` ebre et le probl` eme est de savoir comment on peut prolonger
cette mesure ` a tous les ´ el´ ements appartenant `
a la tribu engendr´ ee par cette
alg` ebre. Le th´ eor` eme de prolongement suivant, avec sa m´ ethodologie due `
a
Carath´ eodory, a la faveur des probabilistes.
Th´ eor` eme 1.3 (th´ eor` eme de prolongement). — Soit A une alg` ebre de
parties d’un ensemble non vide Ω. Toute mesure µ sur A, σ-finie, se prolonge
de fa¸ con unique en une mesure µ, σ-finie, sur la tribu T(A) engendr´ ee par A.
Nous esquissons seulement ici la d´ emonstration dont l’id´ ee remonte ` a
Carath´ eodory.
1 On attribue tout d’abord `
a tout sous-ensemble A de Ω une
mesure ext´ erieure not´ ee µ
∗ (A) d´ efinie de la fa¸ con suivante.
Pour tout A ⊂ Ω d´ esignons par H(A) l’ensemble de toutes les suites (A n )
d’´ el´ ements de l’alg` ebre A telles que A soit contenu dans la r´ eunion
n A n de
ces A n . L’ensemble H(A) n’est pas vide, puisque Ω ∈ A. On pose alors
µ
∗ (A) = inf{
∞
n=1
µ(A n ) ; (A n ) ∈ H(A)}.
On peut v´ erifier que cette fonction µ
∗ a les propri´ et´ es suivantes :
a) µ
∗ (A) ≥ 0, µ
∗ (∅) = 0 ;
b) (monotonie) A ⊂ B ⇒ µ
∗ (A) ≤ µ
∗ (B) ;
c) (sous-additivit´ e) pour toute suite (A n ) de sous-ensembles de Ω, on a :
µ
∗ (
n
A n ) ≤
n
µ
∗ (A n ) ;
d) A ∈ A ⇒ µ
∗ (A) = µ(A).
On dit qu’un ensemble A ⊂ Ω est µ
∗ -mesurable si, pour tout B ⊂ Ω, on a la
relation
(1.2)
µ
∗ (B) = µ
∗ (AB) + µ
∗ (A
c B).
Notons A
∗ la classe des sous-ensembles µ
∗ -mesurables de Ω. On peut montrer
que
e) A
∗ est une tribu ; de plus, la restriction µ
de µ
∗ ` a la tribu A
∗ est
aussi une mesure et elle est σ-additive.
f) A
∗ contient A, donc T(A).
Des propri´ et´ es e) et f) on d´ eduit que la restriction µ de µ
sur T(A) satisfait
les conditions du th´ eor` eme de prolongement. L’unicit´ e du prolongement peut
aussi ˆ etre d´ emontr´ ee. Dans le tableau suivant, nous sch´ ematisons la pr´ esente
construction. La fl` eche montante symbolise le premier prolongement, les deux
fl` eches descendantes les deux restrictions successives. Rappelons que l’on a :
A ⊂ T(A) ⊂ A
∗
⊂ P(Ω).
1 Carath´ eodory (C.). — Vorlesungen ¨
uber reelle Funktionen, 2. Auflage. — Leipzig,
Teubner, .
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Dans beaucoup de situations, on peut construire effectivement une mesure
sur une alg` ebre et le probl` eme est de savoir comment on peut prolonger
cette mesure ` a tous les ´ el´ ements appartenant `
a la tribu engendr´ ee par cette
alg` ebre. Le th´ eor` eme de prolongement suivant, avec sa m´ ethodologie due `
a
Carath´ eodory, a la faveur des probabilistes.
Th´ eor` eme 1.3 (th´ eor` eme de prolongement). — Soit A une alg` ebre de
parties d’un ensemble non vide Ω. Toute mesure µ sur A, σ-finie, se prolonge
de fa¸ con unique en une mesure µ, σ-finie, sur la tribu T(A) engendr´ ee par A.
Nous esquissons seulement ici la d´ emonstration dont l’id´ ee remonte ` a
Carath´ eodory.
1 On attribue tout d’abord `
a tout sous-ensemble A de Ω une
mesure ext´ erieure not´ ee µ
∗ (A) d´ efinie de la fa¸ con suivante.
Pour tout A ⊂ Ω d´ esignons par H(A) l’ensemble de toutes les suites (A n )
d’´ el´ ements de l’alg` ebre A telles que A soit contenu dans la r´ eunion
n A n de
ces A n . L’ensemble H(A) n’est pas vide, puisque Ω ∈ A. On pose alors
µ
∗ (A) = inf{
∞
n=1
µ(A n ) ; (A n ) ∈ H(A)}.
On peut v´ erifier que cette fonction µ
∗ a les propri´ et´ es suivantes :
a) µ
∗ (A) ≥ 0, µ
∗ (∅) = 0 ;
b) (monotonie) A ⊂ B ⇒ µ
∗ (A) ≤ µ
∗ (B) ;
c) (sous-additivit´ e) pour toute suite (A n ) de sous-ensembles de Ω, on a :
µ
∗ (
n
A n ) ≤
n
µ
∗ (A n ) ;
d) A ∈ A ⇒ µ
∗ (A) = µ(A).
On dit qu’un ensemble A ⊂ Ω est µ
∗ -mesurable si, pour tout B ⊂ Ω, on a la
relation
(1.2)
µ
∗ (B) = µ
∗ (AB) + µ
∗ (A
c B).
Notons A
∗ la classe des sous-ensembles µ
∗ -mesurables de Ω. On peut montrer
que
e) A
∗ est une tribu ; de plus, la restriction µ
de µ
∗ ` a la tribu A
∗ est
aussi une mesure et elle est σ-additive.
f) A
∗ contient A, donc T(A).
Des propri´ et´ es e) et f) on d´ eduit que la restriction µ de µ
sur T(A) satisfait
les conditions du th´ eor` eme de prolongement. L’unicit´ e du prolongement peut
aussi ˆ etre d´ emontr´ ee. Dans le tableau suivant, nous sch´ ematisons la pr´ esente
construction. La fl` eche montante symbolise le premier prolongement, les deux
fl` eches descendantes les deux restrictions successives. Rappelons que l’on a :
A ⊂ T(A) ⊂ A
∗
⊂ P(Ω).
1 Carath´ eodory (C.). — Vorlesungen ¨
uber reelle Funktionen, 2. Auflage. — Leipzig,
Teubner, .