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CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
(1) µ(∅) = 0 ;
(2) (axiome de σ-additivit´ e) si (A n ) est une suite d’´ el´ ements de la tribu A,
deux `
a deux disjoints, alors
(1.1)
µ
∞
n=1
A n
=
∞
n=1
µ(A n ).
Si A appartient `
a A, le nombre (fini ou non) µ(A) s’appelle la mesure de A.
Le triplet (Ω, A, µ) est appel´ e espace mesur´ e. La mesure µ est dite finie (ou
born´ ee) si µ(Ω) est fini. Par exemple, une mesure de probabilit´ e est une
mesure finie telle que µ(Ω) = 1. Nous verrons que certaines mesures, en
particulier la mesure de Lebesgue sur la droite R, ne sont pas finies, mais
qu’il existe une suite d’ensembles, tous de mesure finie, dont la r´ eunion est
Ω = R.
D´ efinition. — La mesure µ est dite σ-finie, s’il existe une suite (A n )
d’ensembles mesurables (i.e. appartenant `
a A) telle que
∞
n=1 A n = Ω et
µ(A n ) est fini pour tout n. La mesure µ est dite compl` ete, si tout sousensemble d’un ensemble A de A, de mesure nulle (i.e., µ(A) = 0), appartient
aussi ` a A.
Les propri´ et´ es suivantes ont ´ et´ e d´ emontr´ ees au chapitre 3 lorsque les
mesures sous-jacentes ´ etaient des mesures de probabilit´ e. Leurs d´ emonstrations sont quasiment identiques pour les mesures en g´ en´ eral.
Proposition 1.1. — Soient (A n ) une suite monotone d’ensembles de A
et µ une mesure sur (Ω, A). Si l’une des deux conditions suivantes est
satisfaite
(i) la suite (A n ) est croissante ;
(ii) la suite (A n ) est d´ ecroissante et il existe un entier m tel que µ(A m ) soit
fini ;
alors µ(lim n A n ) = lim n µ(A n ).
Proposition 1.2. — Soient (Ω, A) un espace mesurable et µ une fonction
d´ efinie sur A ` a valeurs dans [0, +∞] ayant les deux propri´ et´ es suivantes
(i) µ(∅) = 0 ;
(ii) (additivit´ e finie) pour tout A, B, disjoints, on a
µ(A + B) = µ(A) + µ(B).
Si elle satisfait, en plus, l’une des deux conditions suivantes
(iii) pour toute suite croissante (A n ) d’ensembles mesurables, on a
lim n µ(A n ) = µ(lim n A n ) ;
(iii
) µ est finie et lim n µ(A n ) = 0 pour toute suite d´ ecroissante (A n )
d’ensembles mesurables tendant vers ∅ ;
alors µ est une mesure sur (Ω, A).
On d´ efinit ´ egalement la notion de mesure sur une alg` ebre A. Il suffit de
conserver l’axiome (1) et dans l’axiome (2) de supposer que (1.1) a lieu chaque
fois que la r´ eunion
∞
n=1
A n appartient `
a l’alg` ebre A.
CHAPITRE 10 : MESURE ET INT ´
EGRATION
(1) µ(∅) = 0 ;
(2) (axiome de σ-additivit´ e) si (A n ) est une suite d’´ el´ ements de la tribu A,
deux `
a deux disjoints, alors
(1.1)
µ
∞
n=1
A n
=
∞
n=1
µ(A n ).
Si A appartient `
a A, le nombre (fini ou non) µ(A) s’appelle la mesure de A.
Le triplet (Ω, A, µ) est appel´ e espace mesur´ e. La mesure µ est dite finie (ou
born´ ee) si µ(Ω) est fini. Par exemple, une mesure de probabilit´ e est une
mesure finie telle que µ(Ω) = 1. Nous verrons que certaines mesures, en
particulier la mesure de Lebesgue sur la droite R, ne sont pas finies, mais
qu’il existe une suite d’ensembles, tous de mesure finie, dont la r´ eunion est
Ω = R.
D´ efinition. — La mesure µ est dite σ-finie, s’il existe une suite (A n )
d’ensembles mesurables (i.e. appartenant `
a A) telle que
∞
n=1 A n = Ω et
µ(A n ) est fini pour tout n. La mesure µ est dite compl` ete, si tout sousensemble d’un ensemble A de A, de mesure nulle (i.e., µ(A) = 0), appartient
aussi ` a A.
Les propri´ et´ es suivantes ont ´ et´ e d´ emontr´ ees au chapitre 3 lorsque les
mesures sous-jacentes ´ etaient des mesures de probabilit´ e. Leurs d´ emonstrations sont quasiment identiques pour les mesures en g´ en´ eral.
Proposition 1.1. — Soient (A n ) une suite monotone d’ensembles de A
et µ une mesure sur (Ω, A). Si l’une des deux conditions suivantes est
satisfaite
(i) la suite (A n ) est croissante ;
(ii) la suite (A n ) est d´ ecroissante et il existe un entier m tel que µ(A m ) soit
fini ;
alors µ(lim n A n ) = lim n µ(A n ).
Proposition 1.2. — Soient (Ω, A) un espace mesurable et µ une fonction
d´ efinie sur A ` a valeurs dans [0, +∞] ayant les deux propri´ et´ es suivantes
(i) µ(∅) = 0 ;
(ii) (additivit´ e finie) pour tout A, B, disjoints, on a
µ(A + B) = µ(A) + µ(B).
Si elle satisfait, en plus, l’une des deux conditions suivantes
(iii) pour toute suite croissante (A n ) d’ensembles mesurables, on a
lim n µ(A n ) = µ(lim n A n ) ;
(iii
) µ est finie et lim n µ(A n ) = 0 pour toute suite d´ ecroissante (A n )
d’ensembles mesurables tendant vers ∅ ;
alors µ est une mesure sur (Ω, A).
On d´ efinit ´ egalement la notion de mesure sur une alg` ebre A. Il suffit de
conserver l’axiome (1) et dans l’axiome (2) de supposer que (1.1) a lieu chaque
fois que la r´ eunion
∞
n=1
A n appartient `
a l’alg` ebre A.