CHAPITRE 10
MESURES DE STIELTJES-LEBESGUE.
INT ´
EGRATION DES VARIABLES AL ´
EATOIRES R ´
EELLES
Nous avons d´ ej` a remarqu´ e ` a propos de la discussion sur la loi g´ eom´ etrique
au chap. 7, § 4, que l’´ etude probabiliste de la premi` ere apparition de pile
au jeu de pile ou face nous amenait `
a consid´ erer l’ensemble de toutes
les suites infinies d’issues possibles. Si l’on identifie l’ensemble des issues
d’une partie au doubleton {1, 0}, on est ainsi conduit `
a consid´ erer l’ensemble
des suites infinies ω = (δ 1 , δ 2 , . . . ), o` u le terme g´ en´ eral δ k vaut 1 ou 0.
Or cet ensemble a la puissance du continu (il peut ˆ etre mis en bijection
avec l’ensemble des nombres r´ eels). On verra, dans les exercices 1–7 du
pr´ esent chapitre, comment probabiliser un tel ensemble, comment le munir
d’une tribu, puis comment d´ efinir sur cet espace probabilisable une mesure
de probabilit´ e qui rende compte de notre intuition sur la pond´ eration
d’´ ev` enements du type “pile” sort exactement quatre fois dans les quinze
premi` eres parties . Il est ´ etonnant que pour l’´ etude th´ eorique d’un jeu de
hasard aussi simple, il faille recourir `
a des r´ esultats profonds sur la th´ eorie
de la mesure et en particulier au th´ eor` eme de prolongement de Carath´ eodory
(voir Th´ eor` eme 1.3 ci-apr` es).
Par ailleurs, pour parler valablement de lois de probabilit´ e non discr` etes
sur la droite r´ eelle, on ne peut ´ eviter de parler de mesure de Lebesgue sur
l’espace mesurable (R, B
1 ). Nous avons donc ´ et´ e amen´ es ` a reproduire dans
les chapitres 10 et 11 des ´ el´ ements de la th´ eorie de la mesure qui permettent
de faire le lien avec ce qui a ´ et´ e dit jusqu’ici. Nous donnons d’abord quelques
notions sur les mesures et en plusieurs points l’expos´ e apparaˆ ıtra comme
une redite de ce qui avait ´ et´ e d´ evelopp´ e pour les lois de probabilit´ e. Nous
continuons par un expos´ e sur l’int´ egration des variables al´ eatoires par rapport
` a une mesure et rejetons dans le chapitre suivant les propri´ et´ es relevant de
l’int´ egration par rapport `
a une mesure de probabilit´ e, d´ efinissant ainsi la
notion d’esp´ erance math´ ematique dans son cadre g´ en´ eral.
1. Mesures. — Soit (Ω, A) le couple form´ e par un ensemble non vide Ω
et une tribu A sur cet ensemble. Un tel couple avait ´ et´ e appel´ e espace
probabilisable. On pr´ ef` ere parler d’espace mesurable, lorsqu’on souhaite d´ efinir
sur A non plus une mesure de probabilit´ e, mais une mesure. Par ce dernier
terme, on entend une fonction µ d´ efinie sur A ` a valeurs dans [0, +∞]
satisfaisant aux axiomes suivants :
MESURES DE STIELTJES-LEBESGUE.
INT ´
EGRATION DES VARIABLES AL ´
EATOIRES R ´
EELLES
Nous avons d´ ej` a remarqu´ e ` a propos de la discussion sur la loi g´ eom´ etrique
au chap. 7, § 4, que l’´ etude probabiliste de la premi` ere apparition de pile
au jeu de pile ou face nous amenait `
a consid´ erer l’ensemble de toutes
les suites infinies d’issues possibles. Si l’on identifie l’ensemble des issues
d’une partie au doubleton {1, 0}, on est ainsi conduit `
a consid´ erer l’ensemble
des suites infinies ω = (δ 1 , δ 2 , . . . ), o` u le terme g´ en´ eral δ k vaut 1 ou 0.
Or cet ensemble a la puissance du continu (il peut ˆ etre mis en bijection
avec l’ensemble des nombres r´ eels). On verra, dans les exercices 1–7 du
pr´ esent chapitre, comment probabiliser un tel ensemble, comment le munir
d’une tribu, puis comment d´ efinir sur cet espace probabilisable une mesure
de probabilit´ e qui rende compte de notre intuition sur la pond´ eration
d’´ ev` enements du type “pile” sort exactement quatre fois dans les quinze
premi` eres parties . Il est ´ etonnant que pour l’´ etude th´ eorique d’un jeu de
hasard aussi simple, il faille recourir `
a des r´ esultats profonds sur la th´ eorie
de la mesure et en particulier au th´ eor` eme de prolongement de Carath´ eodory
(voir Th´ eor` eme 1.3 ci-apr` es).
Par ailleurs, pour parler valablement de lois de probabilit´ e non discr` etes
sur la droite r´ eelle, on ne peut ´ eviter de parler de mesure de Lebesgue sur
l’espace mesurable (R, B
1 ). Nous avons donc ´ et´ e amen´ es ` a reproduire dans
les chapitres 10 et 11 des ´ el´ ements de la th´ eorie de la mesure qui permettent
de faire le lien avec ce qui a ´ et´ e dit jusqu’ici. Nous donnons d’abord quelques
notions sur les mesures et en plusieurs points l’expos´ e apparaˆ ıtra comme
une redite de ce qui avait ´ et´ e d´ evelopp´ e pour les lois de probabilit´ e. Nous
continuons par un expos´ e sur l’int´ egration des variables al´ eatoires par rapport
` a une mesure et rejetons dans le chapitre suivant les propri´ et´ es relevant de
l’int´ egration par rapport `
a une mesure de probabilit´ e, d´ efinissant ainsi la
notion d’esp´ erance math´ ematique dans son cadre g´ en´ eral.
1. Mesures. — Soit (Ω, A) le couple form´ e par un ensemble non vide Ω
et une tribu A sur cet ensemble. Un tel couple avait ´ et´ e appel´ e espace
probabilisable. On pr´ ef` ere parler d’espace mesurable, lorsqu’on souhaite d´ efinir
sur A non plus une mesure de probabilit´ e, mais une mesure. Par ce dernier
terme, on entend une fonction µ d´ efinie sur A ` a valeurs dans [0, +∞]
satisfaisant aux axiomes suivants :