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CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
pas de racine dont le module est strictement plus petit que 1. On suppose, de
plus, que 1 est la seule racine de module 1 de Q(s). Comme le polynˆ ome F (s)
n’a que des coefficients positifs de somme 1, le nombre 1 est racine simple
de Q(s). En utilisant les techniques de l’exercice 12, on peut donc d´ eduire
que lim n u n = 1/µ, o` u µ =
k≥1
kf k est la dur´ ee moyenne de fonctionnement
d’une lampe.
15. — Peut-on piper deux d´ es ` a six faces de sorte que la somme des points
soit ´ equir´ epartie sur {2, . . . , 12} ?
16. — On lance un d´ e parfait n fois de suite. Montrer que la probabilit´ e
pour que la somme des points amen´ es soit ´ egale ` a k est α k /6
n , o` u α k est
le coefficient de s
k dans le polynˆ ome (s + s
2 + · · · + s
6 )
n . Calculer cette
probabilit´ e.
17. — Calculer le moment factoriel d’ordre r (r ≥ 1) d’une variable
al´ eatoire de Poisson de param` etre λ (λ > 0).
18. — Soit (X 1 , X 2 , . . . , X r ) (r ≥ 1) un syst` eme de r variables al´ eatoires
ind´ ependantes identiquement distribu´ ees selon la loi g´ eom´ etrique de param` etre p (0 ≤ p ≤ 1). On pose S r = X 1 + · · · + X r et l’on d´ esigne par Π(r, p)
sa loi de probabilit´ e (c’est la loi de Pascal, ou binomiale n´ egative).
a) D´ eterminer la fonction g´ en´ eratrice de S r .
b) En d´ eduire la loi de probabilit´ e Π(r, p) de S r .
c) Montrer que, pour tout couple d’entiers r 1 , r 2 ≥ 1 et tout p (0 ≤ p ≤
1), on a :
Π(r 1 , p) ∗ Π(r 2 , p) = Π(r 1 + r 2 , p).
19. — Soit X une variable al´ eatoire de loi k
n≥1
θ
n
n
ε n , o` u θ d´ esigne un
param` etre donn´ e appartenant `
a ]0, 1[ et k un param` etre strictement positif.
a) D´ eterminer la valeur du param` etre k en fonction de θ.
b) D´ eterminer la fonction g´ en´ eratrice G(u) = E[u
X ] ; pr´ eciser son
domaine de d´ efinition.
c) D´ eduire de b) les valeurs de E[X] et de Var X.
20 (Le cueilleur de champignons)
2 . — On d´ esigne par N le nombre
de champignons ramass´ es par un cueilleur durant une p´ eriode fix´ ee. On
suppose que N est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {1, 2, . . . } de fonction
g´ en´ eratrice G. On suppose, de plus, que la probabilit´ e pour qu’un champignon
cueilli soit comestible est p. En faisant les hypoth` eses d’ind´ ependance qui vont
de soi, montrer que la probabilit´ e pour que tous les champignons ramass´ es
soient comestibles est G(p).
2 Cet exercice qui nous a ´ et´ e communiqu´ e par Anatole Joffe fait partie du folklore des
probabilistes traitant des fonctions g´ en´ eratrices.
CHAPITRE 9 : FONCTIONS G ´
EN ´
ERATRICES
pas de racine dont le module est strictement plus petit que 1. On suppose, de
plus, que 1 est la seule racine de module 1 de Q(s). Comme le polynˆ ome F (s)
n’a que des coefficients positifs de somme 1, le nombre 1 est racine simple
de Q(s). En utilisant les techniques de l’exercice 12, on peut donc d´ eduire
que lim n u n = 1/µ, o` u µ =
k≥1
kf k est la dur´ ee moyenne de fonctionnement
d’une lampe.
15. — Peut-on piper deux d´ es ` a six faces de sorte que la somme des points
soit ´ equir´ epartie sur {2, . . . , 12} ?
16. — On lance un d´ e parfait n fois de suite. Montrer que la probabilit´ e
pour que la somme des points amen´ es soit ´ egale ` a k est α k /6
n , o` u α k est
le coefficient de s
k dans le polynˆ ome (s + s
2 + · · · + s
6 )
n . Calculer cette
probabilit´ e.
17. — Calculer le moment factoriel d’ordre r (r ≥ 1) d’une variable
al´ eatoire de Poisson de param` etre λ (λ > 0).
18. — Soit (X 1 , X 2 , . . . , X r ) (r ≥ 1) un syst` eme de r variables al´ eatoires
ind´ ependantes identiquement distribu´ ees selon la loi g´ eom´ etrique de param` etre p (0 ≤ p ≤ 1). On pose S r = X 1 + · · · + X r et l’on d´ esigne par Π(r, p)
sa loi de probabilit´ e (c’est la loi de Pascal, ou binomiale n´ egative).
a) D´ eterminer la fonction g´ en´ eratrice de S r .
b) En d´ eduire la loi de probabilit´ e Π(r, p) de S r .
c) Montrer que, pour tout couple d’entiers r 1 , r 2 ≥ 1 et tout p (0 ≤ p ≤
1), on a :
Π(r 1 , p) ∗ Π(r 2 , p) = Π(r 1 + r 2 , p).
19. — Soit X une variable al´ eatoire de loi k
n≥1
θ
n
n
ε n , o` u θ d´ esigne un
param` etre donn´ e appartenant `
a ]0, 1[ et k un param` etre strictement positif.
a) D´ eterminer la valeur du param` etre k en fonction de θ.
b) D´ eterminer la fonction g´ en´ eratrice G(u) = E[u
X ] ; pr´ eciser son
domaine de d´ efinition.
c) D´ eduire de b) les valeurs de E[X] et de Var X.
20 (Le cueilleur de champignons)
2 . — On d´ esigne par N le nombre
de champignons ramass´ es par un cueilleur durant une p´ eriode fix´ ee. On
suppose que N est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {1, 2, . . . } de fonction
g´ en´ eratrice G. On suppose, de plus, que la probabilit´ e pour qu’un champignon
cueilli soit comestible est p. En faisant les hypoth` eses d’ind´ ependance qui vont
de soi, montrer que la probabilit´ e pour que tous les champignons ramass´ es
soient comestibles est G(p).
2 Cet exercice qui nous a ´ et´ e communiqu´ e par Anatole Joffe fait partie du folklore des
probabilistes traitant des fonctions g´ en´ eratrices.