COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
111
b) On pose U (s) =
n≥0
u n s
n . En d´ eduire l’identit´ e :
U (s) =
2s
2 + 4s + 8
8 − 4s − 2s 2 − s 3 .
c) On montrera que le d´ enominateur Q(s) = 8 − 4s − 2s
2
− s
3 a une
racine strictement positive s 1 = 1, 087 . . . et deux racines complexes dont
le module est strictement plus grand que s 1 . (En effet, pour |s| < s 1 , on a
4s + 2s
2 + s
3
< 4s 1 + 2s
2
1 + s
3
1 = 8 et l’on a la mˆ eme in´ egalit´ e pour |s| = s 1 ,
s = s 1 .)
d) Utiliser la technique du pr´ ec´ edent exercice pour ´ evaluer u n .
14. — Cet exercice comment´ e, qui n’utilise que des techniques de ce
chapitre, est donn´ e sans solution. On y retrouve un cas tr` es particulier du
th´ eor` eme dit des renouvellements (cf. Feller (op. cit.), chap. 13).
On consid` ere une lampe ´ electrique dont la dur´ ee de fonctionnement T
est une variable al´ eatoire ` a valeurs enti` eres. Les probabilit´ es d’extinction
f k = P{T = k} (k = 1, 2, . . . ) sont donn´ ees et v´ erifient
k≥1 f k = 1. A
l’instant initial t = 0, la lampe est neuve. D` es qu’elle s’´ eteint, on la remplace
par une lampe neuve du mˆ eme type ; et ainsi de suite. . . On d´ efinit une suite
de variables al´ eatoires (X n ) (n = 1, 2, . . . ) comme suit : X n = 1 ou 0, suivant
qu’` a l’instant n il faut proc´ eder ` a un remplacement ou non. Par hypoth` ese,
on a donc : P{X 1 = 1} = f 1 , puis P{X 1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1} = f n
pour n ≥ 2 et enfin P{X k+1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1 | X k = 1} = f n−k
pour 1 ≤ k ≤ n − 1.
a) En posant u n = P{X n = 1} pour n ≥ 1 et aussi u 0 = 1, f 0 = 0, on a
pour n ≥ 1 l’´ equation de convolution
u n =
0≤k≤n
f k u n−k .
En effet, si l’´ ev` enement {X n = 1} est r´ ealis´ e, ou bien, on n’a jamais chang´ e
de lampe avant l’instant n et l’´ ev` enement {X 1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1}
est r´ ealis´ e, ou bien, pour un certain k tel que 1 ≤ k ≤ n − 1, l’´ ev` enement
{X k = 1, X k+1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1} est r´ ealis´ e. La probabilit´ e de ce
dernier ´ ev` enement est ´ egal ` a
P{X k+1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1 | X k = 1}P{X k = 1} = f n−k u k .
D’o` u, u n = P{X n = 1} = f n +
1≤k≤n−1
f n−k u k =
0≤k≤n
f k u n−k .
b) Pour |s| < 1, on pose F (s) =
k≥0
f k s
k et U (s) =
n≥0
u n s
n .
La pr´ ec´ edente ´ equation de convolution entraˆ ıne ´ evidemment l’identit´ e :
U (s)
1 − F (s)
= 1. On suppose maintenant que f k est nul pour k assez
grand, de sorte que F (s) est un polynˆ ome et donc que Q(s) = 1 − F (s) n’a
EMENTS ET EXERCICES
111
b) On pose U (s) =
n≥0
u n s
n . En d´ eduire l’identit´ e :
U (s) =
2s
2 + 4s + 8
8 − 4s − 2s 2 − s 3 .
c) On montrera que le d´ enominateur Q(s) = 8 − 4s − 2s
2
− s
3 a une
racine strictement positive s 1 = 1, 087 . . . et deux racines complexes dont
le module est strictement plus grand que s 1 . (En effet, pour |s| < s 1 , on a
4s + 2s
2 + s
3
< 4s 1 + 2s
2
1 + s
3
1 = 8 et l’on a la mˆ eme in´ egalit´ e pour |s| = s 1 ,
s = s 1 .)
d) Utiliser la technique du pr´ ec´ edent exercice pour ´ evaluer u n .
14. — Cet exercice comment´ e, qui n’utilise que des techniques de ce
chapitre, est donn´ e sans solution. On y retrouve un cas tr` es particulier du
th´ eor` eme dit des renouvellements (cf. Feller (op. cit.), chap. 13).
On consid` ere une lampe ´ electrique dont la dur´ ee de fonctionnement T
est une variable al´ eatoire ` a valeurs enti` eres. Les probabilit´ es d’extinction
f k = P{T = k} (k = 1, 2, . . . ) sont donn´ ees et v´ erifient
k≥1 f k = 1. A
l’instant initial t = 0, la lampe est neuve. D` es qu’elle s’´ eteint, on la remplace
par une lampe neuve du mˆ eme type ; et ainsi de suite. . . On d´ efinit une suite
de variables al´ eatoires (X n ) (n = 1, 2, . . . ) comme suit : X n = 1 ou 0, suivant
qu’` a l’instant n il faut proc´ eder ` a un remplacement ou non. Par hypoth` ese,
on a donc : P{X 1 = 1} = f 1 , puis P{X 1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1} = f n
pour n ≥ 2 et enfin P{X k+1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1 | X k = 1} = f n−k
pour 1 ≤ k ≤ n − 1.
a) En posant u n = P{X n = 1} pour n ≥ 1 et aussi u 0 = 1, f 0 = 0, on a
pour n ≥ 1 l’´ equation de convolution
u n =
0≤k≤n
f k u n−k .
En effet, si l’´ ev` enement {X n = 1} est r´ ealis´ e, ou bien, on n’a jamais chang´ e
de lampe avant l’instant n et l’´ ev` enement {X 1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1}
est r´ ealis´ e, ou bien, pour un certain k tel que 1 ≤ k ≤ n − 1, l’´ ev` enement
{X k = 1, X k+1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1} est r´ ealis´ e. La probabilit´ e de ce
dernier ´ ev` enement est ´ egal ` a
P{X k+1 = · · · = X n−1 = 0, X n = 1 | X k = 1}P{X k = 1} = f n−k u k .
D’o` u, u n = P{X n = 1} = f n +
1≤k≤n−1
f n−k u k =
0≤k≤n
f k u n−k .
b) Pour |s| < 1, on pose F (s) =
k≥0
f k s
k et U (s) =
n≥0
u n s
n .
La pr´ ec´ edente ´ equation de convolution entraˆ ıne ´ evidemment l’identit´ e :
U (s)
1 − F (s)
= 1. On suppose maintenant que f k est nul pour k assez
grand, de sorte que F (s) est un polynˆ ome et donc que Q(s) = 1 − F (s) n’a