■a
O
c
= 3
û
«JD t H
O
CM
(y )
x:
ai
>Q .
O
U
L’équation (2) ne peut être résolue exactement que dans le cas de l’atome hydrogénoïde.
M Les solutions générales de l’équation de Schrôdinger
La fonction d’onde recherchée est de la forme : M^(r, 0,(t)). La résolution de (2) permet
de constater que les variables, r, 0, (|) sont séparables. La fonction d ’onde complète, W{r,
0, (|)) peut s’écrire :
H'ir.e, (t)) = iVR
(3)
Dans (3), la fonction
est appelée partie radiale et ne dépend ni de 0 ni de (j). Les
parties 0/,„(0) et „( fonction de 0 et (j) sous la forme L^,„(0, (])), appelée partie angulaire ou harmonique
sphérique. Le nombre N est imposé par la condition de normalisation :
fT- J [R , (r)]^ r^dr j j [K,,,, (0, (t))]2 sin 0d0d(|) = I
2. Premières solutions de l’équation de Schrôdinger
Les solutions dépendent de trois paramètres n, l, m qui sont des nombres entiers.
Ces paramètres doivent obéir aux relations suivantes ;
> 0
0 < / < 7Î - 1
- l < m< l
(4)
En utilisant les relations (4), nous obtenons les possibilités suivantes, données pour
72 = 1 et 2.
P
Exercices 2.9,
2. 10, 2.11
N om bres q u antiq u es
Fonction
Nom usuel
n = 1, / = 0, m = 0
'F 100
I s
n = 2, / = 0, m = 0
200
2s
n = 2, / = 1 , /77 = 0
'F 210
2P .
n = 2, / = 1, m = ±1
4/ et 'F
^211
' 21-1
2p^et 2 p /
* Les OA réelles 2p^ et 2p^ sont obtenues par combinaisons linéaires de ces deux solutions.
Avec les relations entre coordonnées sphériques et cartésiennes de la figure p. 46, il est
aisé de justifier l’usage des indices x, y, z pour les fonctions de type 2p.
A l’aide de cette résolution partielle de l’équation de Schrôdinger, nous voyons qu’il
est possible de déduire les propriétés des niveaux d ’un électron à l’aide de trois nombres.
Cette propriété sera étendue dans les fiches suivantes au cas d ’un atome quelconque,
contenant plusieurs électrons.
Les définitions des noms usuels sont données dans la fiche 21.
O
Fiche 190
JD
Fiche 21
47