Énergie cinétique T
mv
La force centrifuge s’exerçant sur l’électron e s t ----- où v est la vitesse de l’électron.
r
Cette force est égale et opposée à la force de rappel (2) qui attire l’électron vers le
centre. On en déduit :
mv^
1 Ze^
47T8n
(4)
T J
O
c
D
û
kD
O
CM
(y)
S I
-O
en £
Q .
>C L
O
U
L’énergie cinétique T est égale à —mv^, d ’où :
(5)
L’énergie totale E est égale à 7 + V, d’où :
1 Ze^
E = -
4tC8q r
+
Ze^
8t18^
L’énergie totale est donc :
^
1 Ze^
E -
87T8q r
(6)
2. La quantification de l’énergie
La relation de Louis de Broglie attribue à l’électron une longueur d’onde X telle que:
X = — . Pour que Fonde associée se retrouve en phase après un tour d’orbite de rayon r,
mv
„h
il faut que nX = Inr (n entier), d ’où v = ----- .
(7)
2nmr
2u2
Nous en déduisons : mv~ =
1 n^h
Ze^
4n
2 2
r m
4nSn
d’après (5)
Il en résulte deux résultats fondamentaux. Le premier est que le rayon de l’orbite de
F électron est quantifié
c
(8)
Si /2 = 1 et Z = 1, nous obtenons le « rayon de Bohr » égal à 0,529 x 10~'‘^m. En repor(9)
Dans (8) et (9) 7i, h, m, e et 8^ sont des constantes et n un entier strictement positif.
Nous pouvons donc écrire :
r{n) = K — {\0)QiE{n) = - K ^ (11)
L’énergie E{n) est quantifiée et dépend d’un entier positif n appelé nombre quantique
principal. L’énergie E{n) est négative et croît selon Z^. L’électron étant lié au noyau, il
faut fournir de l’énergie pour FaiTacher. Cette énergie diminue quand n croît. Le rayon de
l’orbite de l’électron est également quantifié ; il croît en fonction de et décroît selon Z.