Ressorts classique et quantique
La résolution mathématique de l’équation de Schrôdinger permet de trouver les fréquences de vibration quantifiées d ’une molécule schématisée par deux masses couplées
par un ressort.
Le modèle consiste en une masse ponctuelle se déplaçant sur un axe (une seule dimension) et reliée à un point fixe.
A
Force de rappel : F = - kx
Point fixe
0
a
X
1. Traitement classique du ressort
La force de rappel agissant sur la masse m est égale à : F = -kx, où k est la constante
de force du ressort. Selon l’équation de Newton F = my,où y est l’accélération égale à
d^x
d-x/df, nous avons : m -¡-y = -k x qui s’écrit par commodité ;
d^x
k
— ^ + — x = 0
d r
m
Cette équation admet pour solution la fonction :
( 1)
■a
O
c
D
û
K D
t H
O
CM
x:
>C L
O
U
X = asm, I— /
m
En effet, en dérivant deux fois, on obtient :
d^x
dt^
k
Ik
= - a — sin J — t
m
m
(2)
et l’équation (1) est bien vérifiée.
Dans cette expression, a est l’allongement maximal du ressort.
La période T est le temps nécessaire pour que le ressort revienne à sa position initiale.
On a donc :
— x = 2n soit T = 2ti I—
m
V k
La fréquence propre du ressort v est l’inverse de cette quantité :
1 1 k .
v = - = — — soit :
T 271 V w
= 27TV
On a donc finalement
x = a sin Invt
(3)
(4)
(5)
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