L’énergie est quantifiée. Cette quantification est imposée par les conditions aux limites
sur la fonction d’onde.
J
2. Longueur d’onde de Louis de Broglie associée à la particule
Pour être contenues dans la boîte de longueur L, il faut remarquer que les fonctions
d’onde
doivent s’annuler en x = L et donc avoir une longueur d ’onde \ telle que :
À, = 2L!n, avec /r = 1, 2...
(7)
La relation de Louis de Broglie associe une longueur d ’onde à la quantité de mouvement P selon : X, = — . Nous avons donc :/?= — = — d ’après (7). Nous poup
X
2L
vous directement en déduire l’énergie cinétique, égale à l’énergie totale car V = 0 :
E =1/2
, d ’où nous déduisons : E = ^
(n = 1, 2 ...). Cette relation
2m
"
n ’est autre que l’égalité (6) que nous avons calculée d’une autre façon auparavant.
T J
O
c
:3
Q
K D
t H
O
CM
(y)
OJ s
•—
ex
>•
C L
O
U
Autre dérivation de la condition (7)
Cherchons à quelles conditions la fonction définie par l’équation (5) se retrouve égale à elle
fnnx nnX^
- - I - --------,
A
\
■ nTi{x-\-X)
meme apres une longueur d onde À. Posons : sin---- = sm ----------- = sm
L
L
L
En utilisant la formule classique sin {a + h) = sin a x cos h + sin h x cos a, nous avons :
. nn (x + ^)
. nnx
nnX
. nnk
rmx
sm ----------- = sm ----- co s----- + sm ------cos----L
L
L
L
L
^
,
.
nnX
,
. mik
^ ^
On doit donc avoir : cos — ^ = 1, et sm — ^ = 0. Ces conditions sont remplies pour
mik
^
2L
—— = 2ti, d’ou X = — (7), condition déjà trouvée par une autre méthode.
L
n
P
Fiche 5
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