La particule dans une boîte
L’exemple qui suit est destiné à montrer comment on peut utiliser les traitements mathématiques dérivant des postulats de la mécanique quantique dans un cas simple.
Considérons une particule de masse m astreinte à se mouvoir sur un segment de longueur L. Posons que l’énergie potentielle V est nulle entre 0 et L et infinie ailleurs.
V
À
V = oo
v=o
V = oo
------------ >
L
P
Fiche 16
1. Calcul de l’énergie
Entre 0 et L, l’équation de Schrôdinger pour la particule ne contient que l’énergie cinétique (V = 0) et s’écrit en fonction de jc :
h '
FBV = EM' soit : ------ ^ — T
Sn m dx^
Les solutions générales, qui dépendent d ’un paramètre k, sont de la forme :
= A sin kx + B cos kx
2i 2
r h
on en déduit E, = — ^—
( 1)
(2)
(3)
TD
O
c
1 3
Q
O
rsj
(S)
X I
>.
C l
O
U
Les fonctions d’onde 'F, doivent satisfaire à des conditions aux limites : elles doivent
être nulles quand V est infini car le système n’aurait alors plus de sens physique. Cela
entraîne que, par continuité, 4^^. = 0 quand x = 0 ou L. Quand x = 0, nous avons sin Lr = 0
et cos kx = 1, il faut donc que B = 0. Quand x = L, \\ faut que A sin kL = 0 et donc :
kL = nn, avec n entier {n= 1 ,2 ...). Le vecteur d ’onde est donc quantifié :
k = nnIL {n= \, 2 ...)
(4)
(5)
En reportant la valeur k = rnzIL dans l’énergie (3), nous avons
(6)
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