V ariab le
Coordonnée
Quantité de mouvement
M écanique c la ss iq u e
X, y, Z
p = mv
M écanique quantique
X, Z (multiplié par)
= -(ih/27r)a/3x
-(ih/27i)3/aK
ü = -(ih/2n)a/az)
On obtient l’opérateur quantique en remplaçant dans l’opérateur classique tous les
termes par leur équivalent. L’opérateur hamiltonien H, associé à l’énergie, revêt à cet
effet un intérêt particulier.
3. L’opérateur hamiltonien
Considérons un électron de masse m se mouvant dans une seule direction, x. L’énergie
totale classique est de la forme £ = 7" + F, où 7" est l’énergie cinétique et F l’énergie
potentielle. En mécanique quantique, l’opérateur associé à l’énergie est l’hamiltonien
H = T + V où T t i V sont deux opérateurs dont l’expression est la suivante :
1 2
• L’énergie cinétique En mécanique classique nous avons : T = —mv , soit T =
D’après le paragraphe 2, l’équivalent quantique est :
^
^ 1 ^
2m
P^(
T =
2m
-ih
2 k
dx
^K^m dx"
■ a
O
c
1 3
û
t H
O
fN J
-c -â
cr> 2
T" ^
S—
1 )
â i
ô ^
Cette expression se généralise au cas à trois dimensions selon : T = -
Dans cette équation,
est l’opérateur laplacien qui s’écrit :
• L’énergie potentielle L’énergie potentielle ne dépend que des coordonnées x, y, z de
la particule. En conséquence, l’opérateur F garde une forme analogue en mécanique
quantique.
4. L’équation de Schrôdinger pour une particule
Elle est associée à l’énergie E du système considéré. L’opérateur 7 / agit sur la fonction
d’onde 'F selon : //'F = E'F, soit ; {T + F)'F = EW , ce qui, compte tenu des résultats
précédents, se ramène à :
Cette forme mathématique est appelée équation de Schrôdinger. Des exemples d ’applications simples sont donnés dans les fiches suivantes.
JD
Fiche 7
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